Question

16．如圖所示，水平地面上固定一個(gè)光滑軌道ABC，該軌道由兩個(gè)半徑均為R的$\frac{1}{4}$圓弧AB、BC平滑連接而成，O₁、O₂分別為兩段圓弧所對(duì)應(yīng)的圓心，O₁O₂的連線豎直，O₁D是一傾角為45°的虛線，現(xiàn)將一質(zhì)量為m的小球（可視為質(zhì)點(diǎn)）由軌道上P點(diǎn)（圖中未標(biāo)出）靜止釋放，重力加速度為g，求：
（1）P點(diǎn)至少距離地面多高，小球可在B點(diǎn)脫離軌道；
（2）在（1）問(wèn)的條件下求小球落地時(shí)的速度大��；
（3）P點(diǎn)距離地面多高，小球運(yùn)動(dòng)軌跡恰好與O₁D線相切．

Answer 1

分析 （1）先對(duì)從P到B過(guò)程，根據(jù)動(dòng)能定理列式求出小球通過(guò)B點(diǎn)的速度表達(dá)式．小球在B點(diǎn)脫離軌道時(shí)，軌道對(duì)小球沒(méi)有支持力，由重力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律和向心力列式，再聯(lián)立求解；
（2）小球從B點(diǎn)做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)求的落地速度
（3）考慮臨界情況，擊中D點(diǎn)，平拋的水平分位移為2R，豎直分位移為R，先根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的分運(yùn)動(dòng)公式列式；再根據(jù)動(dòng)能定理列式，最后聯(lián)立求解

解答 解：依題得：
（1）小球在B點(diǎn)恰好脫離有：$mg=\frac{m{v}^{2}}{R}$                              
小球從P點(diǎn)到B點(diǎn)過(guò)程：$mg{h}_{1}=\frac{1}{2}m{v}^{2}$                           
由上二式可得：${h}_{1}=\frac{R}{2}$                                          
則P點(diǎn)離地的高度：${H}_{1}={h}_{1}+R=\frac{3R}{2}$                              
（2）水平方向${v}_{x}=\sqrt{gR}$                                      
豎直方向${v}_{y}=\sqrt{2gR}$                                           
則$v=\sqrt{3gR}$                                                
（3）運(yùn)動(dòng)軌跡和建立坐標(biāo)如右圖所示，
y方向上為類豎直上拋運(yùn)動(dòng)：
$-2gcos45°Rcos45°=0-（{v}_{0}cos45°）^{2}$                           
小球從P點(diǎn)到B點(diǎn)過(guò)程$mg{h}_{2}=\frac{1}{2}{mv}_{0}^{2}$                             
由上二式可得：h₂=R                                           
則P點(diǎn)離地的高度：H₂=h₂+R=2R   
答：（1）P點(diǎn)至少距離地面$\frac{3R}{2}$，小球可在B點(diǎn)脫離軌道；
（2）在（1）問(wèn)的條件下小球落地時(shí)的速度大小為$\sqrt{3gR}$；
（3）P點(diǎn)距離地面2R，小球運(yùn)動(dòng)軌跡恰好與O₁D線相切

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是明確球的運(yùn)動(dòng)情況，把握小球恰好可擊中O₁D線的條件：速度與O₁D線相切．能夠結(jié)合平拋運(yùn)動(dòng)分運(yùn)動(dòng)公式、向心力公式、牛頓第二定律、動(dòng)能定理列式求解