Question

3．如圖所示，陰影區(qū)域是質(zhì)量為M、半徑為R的球體挖去一個小圓球后的剩余部分，所挖去的小圓球的球心和大球球心間的距離是$\frac{R}{2}$，小球的半徑是$\frac{R}{2}$，則球體剩余部分對球體外離球心O距離為2R、質(zhì)量為m的質(zhì)點P的引力為$\frac{23GMm}{100{R}^{2}}$．

Answer 1

分析 根據(jù)體積關(guān)系，求出挖去部分的質(zhì)量．
用沒挖之前球?qū)�質(zhì)點的引力，減去被挖部分對質(zhì)點的引力，就是剩余部分對質(zhì)點的引力．

解答 解：根據(jù)m=$ρV=ρ\frac{4}{3}π{r}^{3}$知，挖去部分的半徑是球半徑的一半，則質(zhì)量是球體質(zhì)量的$\frac{1}{8}$，
所以挖去部分的質(zhì)量$M′=\frac{1}{8}M$．
沒挖之前，球體對m的萬有引力${F}_{1}=G\frac{Mm}{4{R}^{2}}$，
挖去部分對m的萬有引力${F}_{2}=G\frac{M′m}{{（\frac{5R}{2}）}^{2}}=\frac{GMm}{50{R}^{2}}$，
則剩余部分對質(zhì)點的引力大小F=F₁-F₂=$\frac{23GMm}{100{R}^{2}}$．
故答案為：$\frac{23GMm}{100{R}^{2}}$

點評 本題主要采用割補法的思想，根據(jù)整體球M在與小球m的引力等于割掉的小球與小球m的引力和剩余空腔部分與小球m的引力的矢量和，掌握割補思想是解決本題的主要入手點，掌握萬有引力定律公式是基礎(chǔ)．