Question

11．如圖所示，長度為l的絕緣細(xì)線將質(zhì)量為m、電量為q的帶正電小球懸掛于O點(diǎn)，整個(gè)空間  中充滿了勻強(qiáng)電場(chǎng)．（取sin37°=0.6，cos37°=0.8）
（1）當(dāng)電場(chǎng)方向豎直向上時(shí)，若使小球在A點(diǎn)獲得水平速度v₁=$\sqrt{2gl}$，小球剛好能在豎直平面內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，求電場(chǎng)強(qiáng)度E₁；
（2）當(dāng)電場(chǎng)方向水平，且電場(chǎng)強(qiáng)度E₂=$\frac{4mg}{3q}$時(shí)，要不能讓細(xì)線松弛，求小球在A點(diǎn)獲得的水平速度v₂應(yīng)該滿足的條件．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)電場(chǎng)方向豎直向上時(shí)，小球所受的電場(chǎng)力豎直向上，若電場(chǎng)力小于重力，小球到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)速度最�。�若小球剛好能通過最高點(diǎn)，由電場(chǎng)力和重力的合力充當(dāng)向心力，由牛頓第二定律求最小速度，再由動(dòng)能定理求出電場(chǎng)強(qiáng)度．若電場(chǎng)力大于重力，小球通過最低點(diǎn)時(shí)速度最小．若小球剛好能通過最低點(diǎn)，由電場(chǎng)力和重力的合力充當(dāng)向心力，由牛頓第二定律求電場(chǎng)強(qiáng)度．
（2）讓細(xì)線不松弛有兩種可能的情況：一種小球能做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，另一種來回?cái)[動(dòng)．第一種情況，找到等效“最高點(diǎn)”，即電場(chǎng)力和重力的合力指向圓心的位置，求出等效“最高點(diǎn)”的速度，由動(dòng)能定理求得水平速度v₂．再由動(dòng)能定理求出小球來回?cái)[動(dòng)時(shí)水平速度v₂，即可得到水平速度v₂應(yīng)滿足的條件．

解答 解：（1）當(dāng)電場(chǎng)力qE₁＜mg時(shí)，小球在最高點(diǎn)的速度v最小，若小球剛好能通過最高點(diǎn)，
則在最高點(diǎn)有：mg-qE₁=m$\frac{{v}^{2}}{l}$
從最低點(diǎn)到最高點(diǎn)，由動(dòng)能定理得：-（mg-qE₁）•2l=$\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
解得 E₁=$\frac{3mg}{5q}$
當(dāng)電場(chǎng)力qE₁＞mg時(shí)，小球在最低點(diǎn)的速度v最小，若小球剛好能通過最低點(diǎn)，則在最低點(diǎn)有：qE₁-mg=m$\frac{{v}^{2}}{l}$
解得 E₁=$\frac{3mg}{q}$
聯(lián)立可得要使小球做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，電場(chǎng)強(qiáng)度應(yīng)滿足：$\frac{3mg}{5q}$≤E₁≤$\frac{3mg}{q}$．
（2）當(dāng)電場(chǎng)方向水平，且E₂=$\frac{4mg}{3q}$時(shí)，小球所受重力為mg、電場(chǎng)力qE₂的合力大小為 
 
F=$\sqrt{（mg）^{2}+（q{E}_{2}）^{2}}$=$\frac{5}{3}$mg，與水平方向的夾角θ滿足tanθ=$\frac{mg}{q{E}_{2}}$=$\frac{3}{4}$
如果小球獲得水平速度v₂后剛好能做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，在速度最小的位置B（如圖）滿足
   F=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{l}$

小球從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)，由動(dòng)能定理得：
-mgl（1+sinθ）-qE₂lcosθ=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$
聯(lián)立解得 v₂=$\sqrt{7gl}$
如果小球獲得水平速度v₂后來回?cái)[動(dòng)，則小球剛好能到達(dá)C點(diǎn)或D點(diǎn)（如上圖），則小球從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)，由動(dòng)能定理得：
-mgl（1+cosθ）+qE₂lsinθ=0-$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$
或小球從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)，由動(dòng)能定理得：
-mgl（1-cosθ）-qE₂lsinθ=0-$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$
解得 v₂=$\sqrt{2gl}$
綜合可得，v₂≥$\sqrt{7gl}$或v₂≤$\sqrt{2gl}$細(xì)線均不會(huì)松馳
答：（1）小球剛好能在豎直平面內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，電場(chǎng)強(qiáng)度E₁應(yīng)滿足$\frac{3mg}{5q}$≤E₁≤$\frac{3mg}{q}$．
（2）當(dāng)電場(chǎng)方向水平，且電場(chǎng)強(qiáng)度E₂=$\frac{4mg}{3q}$時(shí)，要不能讓細(xì)線松弛，小球在A點(diǎn)獲得的水平速度v₂應(yīng)該滿足的條件是v₂≥$\sqrt{7gl}$或v₂≤$\sqrt{2gl}$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵要找到物理的最高點(diǎn)，即速度最小的位置，分析小球通過此位置的臨界條件，運(yùn)用牛頓運(yùn)動(dòng)定律和動(dòng)能定理結(jié)合研究這類臨界問題．