Question

15．如圖所示，在xoy坐標(biāo)系內(nèi)存在一個(gè)以（a，0）為圓心、半徑為a的圓形磁場(chǎng)區(qū)域，方向垂直紙面向里，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B．另在y軸右側(cè)有一方向向左的勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E，分布于y≥a的范圍內(nèi)．O點(diǎn)為質(zhì)子源，其出射質(zhì)子的速度大小相等、方向各異，但質(zhì)子的運(yùn)動(dòng)軌跡均在紙面內(nèi)．已知質(zhì)子在磁場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)半徑也為a，設(shè)質(zhì)子的質(zhì)量為m、電量為e，重力及阻力忽略不計(jì)．求：
（1）出射速度沿x軸正方向的質(zhì)子，到達(dá)y軸所用的時(shí)間；
（2）出射速度與x軸正方向成30°角（如圖中所示）的質(zhì)子，到達(dá)y軸時(shí)的位置；
（3）質(zhì)子到達(dá)y軸的位置坐標(biāo)的范圍．

Answer 1

分析 （1）質(zhì)子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)洛倫茲力提供向心力求解速度，質(zhì)子進(jìn)入電場(chǎng)后做類平拋運(yùn)動(dòng)，沿電場(chǎng)方向運(yùn)動(dòng)a后到達(dá)y軸，由勻變速直線運(yùn)動(dòng)規(guī)律求解；
（2）質(zhì)子轉(zhuǎn)過120°角后離開磁場(chǎng)，再沿直線到達(dá)圖中P點(diǎn)，最后垂直電場(chǎng)方向進(jìn)入電場(chǎng)，做類平拋運(yùn)動(dòng)，并到達(dá)y軸，畫出運(yùn)動(dòng)軌跡，根據(jù)幾何關(guān)系結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)基本公式求解；
（3）若質(zhì)子在y軸上運(yùn)動(dòng)最遠(yuǎn)，應(yīng)是質(zhì)子在磁場(chǎng)中沿右邊界向上直行，垂直進(jìn)入電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)基本公式求解質(zhì)子離坐標(biāo)原點(diǎn)的距離，再結(jié)合幾何關(guān)系分析即可．

解答 解：（1）質(zhì)子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)洛倫茲力提供向心力得：
evB=$m\frac{{v}^{2}}{a}$   
即：v=$\frac{Bea}{m}$
出射速度沿x軸正方向的質(zhì)子，經(jīng)$\frac{1}{4}$圓弧后以速度v垂直于電場(chǎng)方向進(jìn)入電場(chǎng)，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：
t₁=$\frac{T}{4}$=$\frac{πa}{2v}$=$\frac{πm}{2eB}$
質(zhì)子進(jìn)入電場(chǎng)后做類平拋運(yùn)動(dòng)，沿電場(chǎng)方向運(yùn)動(dòng)a后到達(dá)y軸，由勻變速直線運(yùn)動(dòng)規(guī)律有：
a=$\frac{eE{{t}_{2}}^{2}}{2m}$
即：${t}_{2}=\sqrt{\frac{2ma}{eE}}$
故所求時(shí)間為：t=t₁+t₂=$\frac{πm}{2eB}$+$\sqrt{\frac{2ma}{eE}}$
（2）質(zhì)子轉(zhuǎn)過120°角后離開磁場(chǎng)，再沿直線到達(dá)圖中P點(diǎn)，最后垂直電場(chǎng)方向進(jìn)入電場(chǎng)，做類平拋運(yùn)動(dòng)，并到達(dá)y軸，運(yùn)動(dòng)軌跡如圖中所示．
由幾何關(guān)系可得P點(diǎn)距y軸的距離為：
x₁=a+asin30°=1.5a
設(shè)在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為 t₃，由勻變速直線運(yùn)動(dòng)規(guī)律有：
x₁=$\frac{eE{{t}_{3}}^{2}}{2m}$
即 t₃=$\sqrt{\frac{3ma}{eE}}$
質(zhì)子在y軸方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，到達(dá)y軸時(shí)有：
y₁=vt₃=Ba$\sqrt{\frac{3ea}{mE}}$
所以質(zhì)子在y軸上的位置為：y=a+y₁=a+Ba$\sqrt{\frac{3ea}{mE}}$
（3）若質(zhì)子在y軸上運(yùn)動(dòng)最遠(yuǎn)，應(yīng)是質(zhì)子在磁場(chǎng)中沿右邊界向上直行，垂直進(jìn)入電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，
此時(shí)x′=2a
質(zhì)子在電場(chǎng)中在y方向運(yùn)動(dòng)的距離為：y₂=2Ba$\sqrt{\frac{ea}{mE}}$
質(zhì)子離坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為：y_m=a+y₂=a+2Ba$\sqrt{\frac{ea}{mE}}$
由幾何關(guān)系可證得，此題中凡進(jìn)入磁場(chǎng)中的粒子，從磁場(chǎng)穿出時(shí)速度方向均與y軸平行，且只有進(jìn)入電場(chǎng)中的粒子才能打到y(tǒng)軸上，因此
質(zhì)子到達(dá)y軸的位置坐標(biāo)的范圍應(yīng)是（a，a+2Ba$\sqrt{\frac{ea}{mE}}$）   
答：（1）出射速度沿x軸正方向的質(zhì)子，到達(dá)y軸所用的時(shí)間為$\frac{πm}{2eB}$+$\sqrt{\frac{2ma}{eE}}$；
（2）出射速度與x軸正方向成30°角（如圖中所示）的質(zhì)子，到達(dá)y軸時(shí)的位置為a+2Ba$\sqrt{\frac{ea}{mE}}$；
（3）質(zhì)子到達(dá)y軸的位置坐標(biāo)的范圍為 （a，a+2Ba$\sqrt{\frac{ea}{mE}}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查帶電粒子在電場(chǎng)和磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，要注意明確在電場(chǎng)中的類平拋和磁場(chǎng)中的圓周運(yùn)動(dòng)處理方法，難度較大，屬于難題．