Question

19．如圖所示，用折射率n=$\sqrt{2}$的玻璃做成一個(gè)外徑為R的半球形空心球殼．一束與O′O平行的平行光射向此半球的外表面，若讓一個(gè)半徑為$\frac{\sqrt{2}}{2}$R的圓形遮光板的圓心過(guò)O′O軸，并且垂直該軸放置．則球殼內(nèi)部恰好沒(méi)有光線(xiàn)射入，問(wèn)：
①臨界光線(xiàn)射人球殼時(shí)的折射角θ₂為多大？
②球殼的內(nèi)徑R'為多少？

Answer 1

分析 ①根據(jù)幾何關(guān)系求出臨界光線(xiàn)射入球殼時(shí)入射角的正弦，結(jié)合折射定律求出折射角的大�。�
②根據(jù)全反射的條件，通過(guò)折射定律求出臨界角的大小，從而根據(jù)正弦定理求出球殼的內(nèi)徑R′．

解答 解：（1）由題圖和幾何知識(shí)得：sinθ₁=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}R}{R}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，θ₁=45°
由折射率的定義式為：n=$\frac{sin{θ}_{1}}{sin{θ}_{2}}$
聯(lián)立解出得：θ₂=30°
（2）對(duì)臨界光線(xiàn)為：sinC=$\frac{1}{n}$
在題圖△oab中，由正弦定理得：
   $\frac{R}{sin（180°-C）}$=$\frac{R′}{sin{θ}_{2}}$
聯(lián)立解得：R′=$\frac{\sqrt{2}}{2}$R．                                               
答：（1）臨界光線(xiàn)射入球殼時(shí)的入射角θ₁和折射角θ₂分別為45°和30°．
（2）球殼的內(nèi)徑R′為$\frac{\sqrt{2}}{2}$R．

點(diǎn)評(píng) 本題是折射定律、臨界角和幾何知識(shí)的綜合應(yīng)用，作出光路圖是基礎(chǔ)，要靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)幫助解決物理問(wèn)題．