Question

12．兩個(gè)完全相同的物體A和B，在同一地點(diǎn)，物體A由靜止開(kāi)始釋放，豎直下落；物體B由水平方向拋出．不計(jì)空氣阻力時(shí)，A、B將同時(shí)落到地面上．若考慮空氣阻力的存在，在下面兩種情況下．試分析A、B是否同時(shí)落地，如不同時(shí)落地請(qǐng)說(shuō)明落地的先后．
（1）空氣阻力與速度成正比；
（2）空氣阻力與速度的平方成正比．

Answer 1

分析 對(duì)兩種情況下的小球進(jìn)行受力分析，然后結(jié)合牛頓第二定律與勻變速直線運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)即可正確解答．

解答 解：（1）若空氣阻力與速度成正比；即f∝v
剛剛開(kāi)始運(yùn)動(dòng)時(shí)，做自由落體運(yùn)動(dòng)的物體在豎直方向受到的阻力是0，隨速度的增大，阻力增大，始終滿足：f∝v；
剛剛開(kāi)始運(yùn)動(dòng)時(shí)，做平拋運(yùn)動(dòng)的物體在豎直方向受到的阻力是0，隨豎直方向分速度的增大，合速度：
$v=\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}$
阻力：f∝v∝$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}$
豎直方向：f_y∝$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}$sinθ，θ是合速度與水平方向之間的夾角．由以上的公式可知，在豎直方向上，做平拋運(yùn)動(dòng)的物體豎直方向受到的阻力不是與豎直方向的分速度成正比，由公式可知，該阻力沿豎直方向的分力要小于做自由落體運(yùn)動(dòng)的物體在豎直方向受到的分力，所以做平拋運(yùn)動(dòng)的物體先落地．
（2）若空氣阻力與速度的平方成正比．即f∝v²；
剛剛開(kāi)始運(yùn)動(dòng)時(shí)，做自由落體運(yùn)動(dòng)的物體在豎直方向受到的阻力是0，隨速度的增大，阻力增大，始終滿足受到的阻力與速度的平方成正比，即：f∝v²；
做平拋運(yùn)動(dòng)的物體在豎直方向受到的阻力是0，隨豎直方向分速度的增大，合速度：
$v=\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}$
阻力：f∝v² ∝$（{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}）$
豎直方向的阻力：f_y′∝$（{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}）$•sin²θ=$（{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}）$•$（\frac{{v}_{y}}{\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}}）^{2}$=${v}_{y}^{2}$
可知做平拋運(yùn)動(dòng)的物體在豎直方向受到的阻力與豎直方向分速度的平方成正比．
可知，兩種情況下豎直方向的受力與都與豎直方向的分速度平方成正比，是相同的，所以二者同時(shí)落地．
答：（1）空氣阻力與速度成正比是做平拋運(yùn)動(dòng)的物體先落地；
（2）空氣阻力與速度的平方成正比時(shí)二者同時(shí)落地．

點(diǎn)評(píng) 該題結(jié)合牛頓第二定律考查平拋運(yùn)動(dòng)，掌握矢量合成的平行四邊形定則和分運(yùn)動(dòng)的獨(dú)立性是解決本題的關(guān)鍵．
該題是自招的考試題，有一定的能力的同學(xué)可以選做，而一般的同學(xué)不建議做．