Question

9．太空中存在一些離其它恒星很遠的、由三顆星組成的三星系統(tǒng)，可忽略其它星體對它們的引力作用．已觀測到穩(wěn)定的三星系統(tǒng)存在兩種基本的構成形式：一種是直線三星系統(tǒng)──三顆星始終在一條直線上；另一種是三角形三星系統(tǒng)──三顆星位于等邊三角形的三個頂點上．已知某直線三星系統(tǒng)A 每顆星體的質量均為m，相鄰兩顆星中心間的距離都為R；某三角形三星系統(tǒng)B 的每顆星體的質量恰好也均為m，且三星系統(tǒng)A 外側的兩顆星作勻速圓周運動的周期和三星系統(tǒng)B 每顆星作勻速圓周運動的周期相等．引力常量為G，則（　�。�

• A． 三星系統(tǒng)A 外側兩顆星運動的線速度大小為v=$\sqrt{\frac{Gm}{R}}$
• B． 三星系統(tǒng)A 外側兩顆星運動的角速度大小為ω=$\frac{1}{2R}$$\sqrt{\frac{5Gm}{R}}$
• C． 三星系統(tǒng)B 的運動周期為T=4πR$\sqrt{\frac{R}{5Gm}}$
• D． 三星系統(tǒng)B任意兩顆星體中心間的距離為L=$\root{3}{\frac{12}{5}}$R

Answer 1

分析 明確研究對象，對研究對象受力分析，找到做圓周運動所需向心力的來源，根據(jù)牛頓第二定律列式分析即可．

解答 解：AB、對三星系統(tǒng)A：三顆星位于同一直線上，兩顆星圍繞中央星在同一半徑為R的圓軌道上運行；
其中邊上的一顆星受中央星和另一顆邊上星的萬有引力提供向心力：
$\frac{{G{m^2}}}{R^2}+\frac{{G{m^2}}}{{（2R{）^2}}}=m\frac{v^2}{R}$
解之得：
v=$\sqrt{\frac{5Gm}{4R}}$
故：
T=$\frac{2πR}{v}$=4πR$\sqrt{\frac{R}{5Gm}}$
ω=$\frac{2π}{T}$=$\sqrt{\frac{5Gm}{4{R}^{3}}}$=$\frac{1}{2R}$$\sqrt{\frac{5Gm}{R}}$
故A錯誤，B正確；
C、三星系統(tǒng)A外側的兩顆星作勻速圓周運動的周期和三星系統(tǒng)B 每顆星作勻速圓周運動的周期相等，故：
T′=T=4πR$\sqrt{\frac{R}{5Gm}}$
故C正確；
D、另一種形式是三顆星位于等邊三角形的三個項點上，并沿外接于等邊三角形的圓形軌道運行，

由萬有引力定律和牛頓第二定律得：
$2\frac{{G{m^2}}}{L^2}cos30°=m\frac{L}{2cos30°}{（\frac{2π}{T}）^2}$
由于兩種系統(tǒng)的運動周期相同，即T=4πR$\sqrt{\frac{R}{5Gm}}$
故解得：L=$\root{3}{\frac{12}{5}}$R．
故D正確；
故選：BCD

點評 萬有引力定律和牛頓第二定律是力學的重點，在本題中有些同學找不出什么力提供向心力，關鍵在于進行正確受力分析．