Question

1951年，物理學(xué)家發(fā)現(xiàn)了“電子偶素”，所謂“電子偶素”，就是由一個負(fù)電子和一個正電子繞它們的質(zhì)量中心旋轉(zhuǎn)形成的相對穩(wěn)定的系統(tǒng)．已知正、負(fù)電子的質(zhì)量均為m_e，普朗克常量為h，靜電力常量為k．

（1）若正、負(fù)電子是由一個光子和核場相互作用產(chǎn)生的，且相互作用過程中核場不提供能量，則此光子的頻率必須大于某個臨界值，此臨界值為多大?

（2）假設(shè)“電子偶數(shù)”中正、負(fù)電子繞它們質(zhì)量中心做勻速圓周運動的軌道半徑r、運動速度v及電子的質(zhì)量滿足玻爾的軌道量子化理論：2m_evr＝n（h/2π），n＝1，2……“電子偶素”的能量為正負(fù)電子運動的動能和系統(tǒng)的電勢能之和，已知兩正負(fù)電子相距為L時系統(tǒng)的電勢能為E＝－k（e²/L），試求n＝１時“電子偶素”的能量。

（3）“電子偶素”由第一激發(fā)態(tài)躍遷到基態(tài)發(fā)出光子的波長為多大? 

Answer 1

解：（1）設(shè)光子頻率的臨界值為ν₀，則有

　　　?ｈν₀＝２ｍ_ｅｃ²，　ν₀＝（２ｍ_ｅｃ²）/ｈ．　　　　　①

（2）由于正、負(fù)電子質(zhì)量相等，故兩電子的軌道半徑相等，設(shè)為ｒ，則正負(fù)電子間距為２ｒ，速度均為ｖ，則有

　　　　（ｋｅ²）/（4ｒ²）＝ｍ_ｅ（ν²/ｒ），　　　　　　　②

依題意，有　　　2ｍ_ｅｖｒ＝ｎｈ/（2π），　　　　　　　　�、�

而電子偶數(shù)能量

　　Ｅ_n＝２×（１/２）ｍ_ｅｖ²－（ｋｅ²）/（２ｒ），　　　�、�

由②③④式聯(lián)立得

　�。�_n＝－（ｍ_ｅｋ²π²ｅ⁴）/（ｈ²ｎ²），ｎ＝１，２……　　　�、�

取ｎ＝１可得電子偶數(shù)基態(tài)能量為

　　　�。�₁＝－（ｍ_ｅｋ²π²ｅ⁴）/（ｈ²）．

（3）由⑤式可得電子偶數(shù)處于第一激發(fā)態(tài)時的能量為Ｅ₂＝（１/４）Ｅ₁，即ｎ＝２，與Ｅ_n＝Ｅ₁/ｎ²相同．設(shè)電子偶數(shù)從第一激發(fā)態(tài)躍遷到基態(tài)時發(fā)出光子的波長為λ，則

　　　　Ｅ₂－Ｅ₁＝ｈｃ/λ，

由由以上各式解得　　　λ＝（４ｈ³ｃ）/（３ｍ_ｅｋ²π²ｅ⁴）．