Question

6．如圖所示，直線MN的下方有豎直向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)大小為E=700V/m．在電場(chǎng)區(qū)域內(nèi)有一個(gè)平行于MN的擋板PQ；MN的上方有一個(gè)半徑為R=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$m的圓形彈性圍欄，在圍欄區(qū)域內(nèi)有圖示方向的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B=16.28T．圍欄最低點(diǎn)一個(gè)小洞b，在b點(diǎn)正下方的電場(chǎng)區(qū)域內(nèi)有一點(diǎn)a，a點(diǎn)到MN的距離d₁=45cm，到PQ距離d₂=5cm．現(xiàn)將一個(gè)質(zhì)量為m=0.1g，帶電量q=2×10^-3C的帶正電小球（重力不計(jì)），從a點(diǎn)由靜止釋放，在電場(chǎng)力作用下向下運(yùn)動(dòng)與擋板PQ相碰后電量減少到碰前的0.8倍，且碰撞前后瞬間小球的動(dòng)能不變，不計(jì)小球運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的空氣阻力以及小球與圍欄碰撞時(shí)的能量損失，試求：（已知1.25¹⁰=9.31，1.25¹¹=11.628）
（1）求出小球第一次與擋板PQ相碰后向上運(yùn)動(dòng)的距離；
（2）小球第一次從小洞b進(jìn)入圍欄時(shí)的速度大��；
（3）小球從第一次進(jìn)入圍欄到離開(kāi)圍欄經(jīng)歷的時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）、在與擋板PQ相碰碰撞時(shí)沒(méi)有能量損失，只有電量損失．所以每碰一次，回彈的高度都會(huì)增加．向下運(yùn)動(dòng)時(shí)，電場(chǎng)力做正功，向上運(yùn)動(dòng)時(shí)，電場(chǎng)力做負(fù)功．由能量關(guān)系可求出第一次碰撞后小球向上運(yùn)動(dòng)的高度．
（2）、通過(guò)第一問(wèn)的解題方法，表示出碰撞n次時(shí)，小球上升的高度x_n，如果滿足x_n＞d₁+d₂，小球即可進(jìn)入圓形磁場(chǎng)區(qū)域，由動(dòng)能定理即可求出此時(shí)進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域的速度．
（3）、因第二問(wèn)已求出進(jìn)入磁場(chǎng)的速度，小球在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)，即可求出小球的軌道半徑和周期，通過(guò)幾何關(guān)系求出小球的偏轉(zhuǎn)角，從而判斷碰撞的次數(shù)．

解答 解：（1）設(shè)小球第一次與擋板相碰后向上運(yùn)動(dòng)距離為x₁，則
qEd₂=0.8qEx₁       
x₁=1.25d₂=6.25（cm）     
（2）設(shè)第n次與擋板PQ相碰后向上運(yùn)動(dòng)距離為x_n，則：0.8ⁿqEx_n=qEd₂
要使小球能進(jìn)入圍欄，應(yīng)有：
x_n＞d₁+d₂
綜上：1.25ⁿ＞10
所以：當(dāng)小球與擋板碰撞11次后，小球?qū)⒌谝淮芜M(jìn)入圍欄內(nèi)    
設(shè)進(jìn)入速度大小為v，則應(yīng)有：$qE{d_2}-{0.8^{11}}qE（{d_1}+{d_2}）=\frac{1}{2}m{v^2}$
解得：v=14（m/s）       
（3）小球進(jìn)入圓形圍欄后，在洛倫茲力作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，如圖所示$q'vB=m\frac{v^2}{r}$   
 所以軌道半徑 $r=\frac{mv}{q'B}=0.5$（m）   
運(yùn)動(dòng)周期 $T=\frac{2πr}{v}=\frac{π}{14}$（s）
圖中 $tanθ=\frac{r}{R}=\frac{0.5}{0.866}$所以 θ=30°        
即，當(dāng)小球每轉(zhuǎn)過(guò)120°圓周就與圍欄碰撞一次，最終經(jīng)過(guò)5次碰撞，從小洞b離開(kāi)圍欄區(qū)，
故在圍欄內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：$t=6×\frac{1}{3}T=\frac{π}{7}$（s）=0.45s           
答：（1）求出小球第一次與擋板PQ相碰后向上運(yùn)動(dòng)的距離為6.25cm．
（2）小球第一次從小洞b進(jìn)入圍欄時(shí)的速度大小為14m/s．
（3）小球從第一次進(jìn)入圍欄到離開(kāi)圍欄經(jīng)歷的時(shí)間$\frac{π}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 解決此種類型的題，對(duì)于過(guò)程的分析成了解決問(wèn)題的關(guān)鍵，在各個(gè)過(guò)程中要分析清楚變化的量和不變的量．根據(jù)對(duì)過(guò)程的分析，畫(huà)出草圖，充分利用相關(guān)的幾何知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題．該題還考察了邊界問(wèn)題，要注意分析磁場(chǎng)邊界對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡的影響．