Question

9．“神舟五號”載人飛船在繞地球飛行的第5圈進行變軌，由原來的橢圓軌道變?yōu)榫嗟孛娓叨葹閔的圓形軌道．已知地球半徑為R，地面處的重力加速度為g．試問飛船在上述圓軌道上運行的周期及速度的大小各是多少？

Answer 1

分析 在地球表面，重力和萬有引力相等，神舟五號飛船軌道上，萬有引力提供飛船做圓周運動的向心力．

解答 解：設地球質量為 M，飛船質量為 m，速度為 v，周期為 T，由萬有引力定律和牛頓第二定律，有
$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，
r=R+h
得v=$\sqrt{\frac{GM}{R+h}}$，
又因為萬有引力等于重力$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=mg，
得GM=gR²，
所以v=$\sqrt{\frac{{gR}^{2}}{R+h}}$，
根據T=$\frac{2π（R+h）}{v}$=2π$\sqrt{\frac{{（R+h）}^{3}}{GM}}$，
答：飛船在上述圓軌道上運行的周期及速度的大小各是2π$\sqrt{\frac{{（R+h）}^{3}}{GM}}$和$\sqrt{\frac{{gR}^{2}}{R+h}}$．

點評 該題考查萬有引力定律的應用，要掌握萬有引力提供向心力和重力等于萬有引力這兩個重要的關系，屬于基礎題目．