Question

普通光纖是一種可傳輸光的圓柱形細(xì)絲，由具有圓形截面的纖芯和包層組成，的折射率小于的折射率，光纖的端面和圓柱體的軸垂直，由一端面射入的光在很長(zhǎng)的光纖中傳播時(shí)，在纖芯和包層的分界面上發(fā)生多次全反射．現(xiàn)在利用普通光纖測(cè)量流體的折射率．實(shí)驗(yàn)方法如下：讓光纖的一端（出射端）浸在流體中．令與光纖軸平行的單色平行光束經(jīng)凸透鏡折射后會(huì)聚光纖入射端面的中心，經(jīng)端面折射進(jìn)入光纖，在光纖中傳播．由點(diǎn)出發(fā)的光束為圓錐形，已知其邊緣光線和軸的夾角為，如圖復(fù)17-6-1所示．最后光從另一端面出射進(jìn)入流體．在距出射端面處放置一垂直于光纖軸的毛玻璃屏，在上出現(xiàn)一圓形光斑，測(cè)出其直徑為，然后移動(dòng)光屏至距光纖出射端面處，再測(cè)出圓形光斑的直徑，如圖復(fù)17-6-2所示．
    1．若已知和的折射率分別為與，求被測(cè)流體的折射率的表達(dá)式．
    2．若、和均為未知量，如何通過(guò)進(jìn)一步的實(shí)驗(yàn)以測(cè)出的值?

Answer 1

1．由于光纖內(nèi)所有光線都從軸上的點(diǎn)出發(fā)，在光纖中傳播的光線都與軸相交，位于通過(guò)軸的縱剖面內(nèi)，圖復(fù)解17-6-1為縱剖面內(nèi)的光路圖，設(shè)由點(diǎn)發(fā)出的與軸的夾角為的光線，射至、分界面的入射角為，反射角也為．該光線在光纖中多次反射時(shí)的入射角均為，射至出射端面時(shí)的入射角為．若該光線折射后的折射角為，則由幾何關(guān)系和折射定律可得

                                                     （1）

                                               （2）

當(dāng)大于全反射臨界角時(shí)將發(fā)生全反射，沒(méi)有光能損失，相應(yīng)的光線將以不變的光強(qiáng)射向出射端面，而的光線則因在發(fā)生反射時(shí)有部分光線通過(guò)折射進(jìn)入，反射光強(qiáng)隨著反射次數(shù)的增大而越來(lái)越弱，以致在未到達(dá)出射端面之前就已經(jīng)衰減為零了．因而能射向出射端面的光線的的數(shù)值一定大于或等于，的值由下式?jīng)Q定

                                        （3）

與對(duì)應(yīng)的值為

                                        （4）

當(dāng)時(shí)，即時(shí)，或時(shí)，由發(fā)出的光束中，只有的光線才滿足的條件，才能射向端面，此時(shí)出射端面處的最大值為

                                  （5）

若，即時(shí)，則由發(fā)出的光線都能滿足的條件，因而都能射向端面，此時(shí)出射端面處的最大值為

                                           （6）

端面處入射角最大時(shí)，折射角也達(dá)最大值，設(shè)為，由（2）式可知

                               （7）

由（6）、（7）式可得，當(dāng)時(shí)

                                        （8）

由（3）至（7）式可得，當(dāng)時(shí)

                             （9）

的數(shù)值可由圖復(fù)解17-6-2上的幾何關(guān)系求得

                   （10）

于是的表達(dá)式應(yīng)為

             （）       （11）

            （）       （12）

2. 可將輸出端介質(zhì)改為空氣，光源保持不變，按同樣手續(xù)再做一次測(cè)量，可測(cè)得、、、，這里打撇的量與前面未打撇的量意義相同．已知空氣的折射率等于1，故有

當(dāng)時(shí)                  （13）

當(dāng)時(shí)                 （14）

將（11）、（12）兩式分別與（13）、（14）相除，均得

                           （15）

這結(jié)果適用于為任何值的情況。

評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：本題25分

1. 18分。（8）式、（9）式各6分，求得（11）式、（12）式再各給3分

2. 7分。（13）式、（14）式各2分，求得（15）式再給3分。如果利用已知其折射率的液體代替空氣，結(jié)果正確，照樣給分。