Question

8．如圖所示，半徑分別為R和r（R＞r）的甲、乙兩光滑圓軌道放置在同一豎直平面內(nèi)，兩軌道之間由一光滑水平軌道CD相連，在水平軌道CD上有一輕彈簧被a、b兩個質(zhì)量均為m的小球夾住，但不拴接．同時釋放兩小球，彈性勢能全部轉(zhuǎn)化為兩球的動能，若兩球獲得相等動能，其中一只小球恰好能通過最高點．
（1）彈簧釋放的彈性勢能？
（2）另一個小球通過最高點時對軌道的壓力是多少？
（3）若兩小球恰好落到同一點，求CD的最大長度．

Answer 1

分析 （1）小球恰好能通過最高點，在最高點，由重力提供向心力，則半徑越大，到達最高點的動能越大，而兩球初動能相等，其中有一只小球恰好能通過最高點，所以是a球剛好到達最高點，此時對軌道的壓力為零，對a球從離開彈簧到達最高點的過程中，根據(jù)動能定理求出a球的初速度，而兩球初動能相等，初動能之和即為彈簧的彈性勢能；
（2）兩球初動能相等，在最高點，根據(jù)牛頓第二定律列式求解即可；
（3）ab兩球離開軌道后做平拋運動，CD的距離等于兩球平拋運動的水平距離之和，根據(jù)平拋運動的基本公式即可求解CD的距離．

解答 解：（1）由題意可以判斷到a球恰好過最高點，最高點的速度為v₁，
$mg=m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{R}$
解得：${v}_{1}=\sqrt{gR}$
b球過最高點時的速度大小為v₂，兩球獲得相同的動能，根據(jù)能量守恒，有：
${E}_{P}=（mg•2R+\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}）×2=5mgR$
（2）因為兩球彈開時具有相同的動能，則$mg•2R+\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}=mg•2r+\frac{1}{2}m{{v}_{2}}^{2}$
最高點有：$mg+F=m\frac{{{v}_{2}}^{2}}{r}$
解得：$F=\frac{mg（5R-5r）}{r}$
由作用力和反作用力可得小球通過最高點時對軌道的壓力為$\frac{mg（5R-5r）}{r}$，
（3）ab兩球離開軌道后做平拋運動，CD的距離等于兩球平拋運動的水平距離之和，
a球運動的時間${t}_{a}=\sqrt{\frac{4R}{g}}$，所以a球水平位移${x}_{a}=v\sqrt{\frac{4R}{g}}$=2R，
設(shè)b球到達最高點的速度v_b，則
$\frac{1}{2}m{{v}_}^{2}-{E}_{Kb}=-mg•2r$…①，
b球運動的時間${t}_=\sqrt{\frac{4r}{g}}$…②，
b球的水平位移${x}_={v}_\sqrt{\frac{4r}{g}}$…③
由①②③解得：x_b=2$\sqrt{r（5R-4r）}$
則CD=x_a+x_b=2R+2$\sqrt{r（5R-4r）}$．
答：（1）彈簧釋放的彈性勢能為5mgR；
（2）另一個小球通過最高點時對軌道的壓力是$\frac{mg（5R-5r）}{r}$；
（3）若兩小球恰好落到同一點，CD的最大長度為2R+2$\sqrt{r（5R-4r）}$．

點評 本題主要考查了動能定理、向心力公式、平拋運動基本公式的直接應(yīng)用，過程較為復(fù)雜，要求同學(xué)們能正確分析小球的運動過程中，能根據(jù)基本規(guī)律解題，難度適中．