Question

3．“猴子蕩秋千”是某馬戲團(tuán)的經(jīng)典表演項(xiàng)目．如圖所示，離地高H=5.4m的O點(diǎn)固定一根長(zhǎng)L=3.6m且不可伸長(zhǎng)的輕質(zhì)繩，在繩的一側(cè)有一平臺(tái)，拉直繩子，其末端正好位于平臺(tái)邊緣A點(diǎn)，繩子與豎直方向成60°角．有一質(zhì)量m=5kg的猴子在A點(diǎn)抓住繩子末端無(wú)初速度地離開(kāi)平臺(tái)．在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中猴子可視為質(zhì)點(diǎn)，空氣阻力不計(jì)．求：（g取10m/s²）
（1）猴子經(jīng)過(guò)O點(diǎn)正下方B點(diǎn)時(shí)的速度大��；
（2）猴子經(jīng)過(guò)O點(diǎn)正下方B點(diǎn)時(shí)受到繩子的拉力大�。�
（3）若猴子在B點(diǎn)放開(kāi)繩子，則其落地點(diǎn)C與懸點(diǎn)O間的水平距離多大？
（4）若猴子沿繩向上爬行一定距離后（在訓(xùn)練員的幫助下繩仍與豎直方向成60°角），再抓緊繩子無(wú)初速度向下擺動(dòng)，當(dāng)擺至O點(diǎn)正下方時(shí)放開(kāi)繩子，可能落得比C點(diǎn)更遠(yuǎn)嗎？試判斷并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由靜止釋放，細(xì)繩的拉力不做功，機(jī)械能守恒，據(jù)此定律列式可求得猴子擺到最低點(diǎn)B時(shí)的速度大�。�
（2）在最低點(diǎn)，由重力和細(xì)繩拉力的合力提供小球的向心力，根據(jù)牛頓第二定律求解細(xì)繩的拉力大小；
（3）猴子在B點(diǎn)放開(kāi)繩子后做平拋運(yùn)動(dòng)，由平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求落地點(diǎn)C與懸點(diǎn)O間的水平距離；
（4）結(jié)合以上的分析方法，求出猴子沿繩向上爬行一定距離后做平拋運(yùn)動(dòng)時(shí)，水平方向位移的最大值即可．

解答 解：（1）猴子從A到B過(guò)程中由機(jī)械能守恒定律得
mgL（1-cos60°）=$\frac{1}{2}$mv²
v=$\sqrt{2gL（1-cos60°）}$
代入數(shù)據(jù)得
v=6m/s
（2）設(shè)猴子經(jīng)過(guò)B點(diǎn)時(shí)受到繩子的拉力大小為F_T，由牛頓第二定律得
F_T-mg=m$\frac{v2}{L}$
則F_T=mg+m$\frac{v2}{L}$
代入數(shù)據(jù)得
F_T=100N
（3）猴子從B到C過(guò)程做平拋運(yùn)動(dòng)
H-L=$\frac{1}{2}$gt²
則t=$\sqrt{\frac{2（H-L）}{g}}$
代入數(shù)據(jù)得
t=0.6s
落地點(diǎn)C與懸點(diǎn)O間的水平距離
x=vt
代入數(shù)據(jù)得
x=3.6m
（4）設(shè)猴子沿繩向上爬行到距O點(diǎn)L₁處向下擺動(dòng)，到達(dá)O點(diǎn)正下方時(shí)速度記為v₁
mgL₁（1-cos60°）=$\frac{1}{2}$mv₁²
H-L₁=$\frac{1}{2}$gt₁²
落地點(diǎn)與O點(diǎn)間的水平距離
x₁=v₁t₁=$\sqrt{2（H-{L}_{1}）{L}_{1}}$
解得當(dāng)L₁=$\frac{1}{2}$H=2.7m時(shí)最遠(yuǎn)
因此，猴子可能落得比C點(diǎn)更遠(yuǎn)．
答：（1）猴子經(jīng)過(guò)O點(diǎn)正下方B點(diǎn)時(shí)的速度大小是；
（2）猴子經(jīng)過(guò)O點(diǎn)正下方B點(diǎn)時(shí)受到繩子的拉力大小是；
（3）若猴子在B點(diǎn)放開(kāi)繩子，則其落地點(diǎn)C與懸點(diǎn)O間的水平距離是；3.6m
（4）分析可知，當(dāng)L₁=$\frac{1}{2}$H=2.7m時(shí)最遠(yuǎn)，因此，猴子可能落得比C點(diǎn)更遠(yuǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題是機(jī)械能守恒定律、向心力知識(shí)和平拋運(yùn)動(dòng)的綜合，明確向心力的來(lái)源，運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的分解法研究平拋運(yùn)動(dòng)是解題的關(guān)鍵．