Question

7．如圖所示，質(zhì)量分布均勻的小球，質(zhì)量為m，半徑為R；傾角α=45°的斜面體質(zhì)量為M，放置在水平面上．在水平推力作用下，使斜面體底角剛好與墻角接觸，撤去推力后小球和斜面體均做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，直到小球恰好落地．不計(jì)一切摩擦，重力加速度為g．求：
（1）靜止時(shí)，水平推力F；
（2）撤去推力后，小球重力勢能的變化量；
（3）撤去推力后，斜面體勻加速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）靜止時(shí)，先分析小球的受力情況，由平衡條件求墻壁對(duì)小球的彈力，再對(duì)整體，運(yùn)用平衡條件求F的大小．
（2）撤去推力后，求出小球下降的高度，再求得小球重力勢能的變化量．
（3）撤去推力后，由牛頓第二定律求出兩者的加速度，由幾何關(guān)系求出小球和斜面體的位移關(guān)系，結(jié)合位移時(shí)間公式求解時(shí)間．

解答 解：（1）對(duì)小球分析：受到重力mg、墻壁的彈力F₁、斜面體的支持力F₂．

由平衡條件得
    F₁=mgtanα=mg
再對(duì)整體分析：重力（m+M）g、地面的支持力F_N、墻壁的彈力F₁、水平推力F
對(duì)整體，由平衡條件得 F=F₁=mg
（2）撤去推力后，小球重力勢能的變化量△E_p=-mg△h
如圖所示，由幾何關(guān)系得到小球的重心位置下降了△h=2Rcos45°=$\sqrt{2}$R
所以△E_p=-mg△h=-$\sqrt{2}$mgR

（3）撤去水平推力F后小球豎直向下加速運(yùn)動(dòng)，斜面體水平向右加速運(yùn)動(dòng)，設(shè)加速度分別為a₁和a₂．
根據(jù)牛頓第二定律得
對(duì)小球有
    mg-F₀cosα=ma₁
對(duì)斜面體有 
    F₀sinα=Ma₂
兩者的關(guān)系為 $\frac{\frac{1}{2}{a}_{1}{t}^{2}}{\frac{1}{2}{a}_{2}{t}^{2}}$=tanα
可得 a₁=a₂=$\frac{mg}{M+m}$
由幾何關(guān)系得到斜面體發(fā)生的位移 x=2Rcos45°
又 x=$\frac{1}{2}{a}_{2}{t}^{2}$
解得  t=$\sqrt{2\sqrt{2}R\frac{（M+m）}{mg}}$
答：
（1）靜止時(shí)，水平推力F是mg；
（2）撤去推力后，小球重力勢能的變化量是-$\sqrt{2}$mgR；
（3）撤去推力后，斜面體勻加速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是$\sqrt{2\sqrt{2}R\frac{（M+m）}{mg}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題涉及兩個(gè)物體，首先要選好研究對(duì)象，對(duì)平衡問題，采用隔離法和整體法結(jié)合研究，比較簡便．對(duì)兩個(gè)物體都運(yùn)動(dòng)的情形，關(guān)鍵要分析出它們位移的關(guān)系．