Question

17．地球質(zhì)量為M，半徑為R，自轉(zhuǎn)周期為T₀，取無窮遠(yuǎn)處的引力勢能為零．質(zhì)量為m的衛(wèi)星在繞地球無動力飛行時，它和地球組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，它們之間引力勢能的表達(dá)式是E_p=-$\frac{GMm}{r}$，其中r是衛(wèi)星與地心間的距離．現(xiàn)欲將質(zhì)量為m的衛(wèi)星從近地圓軌道Ⅰ發(fā)射到橢圓軌道Ⅱ上去，軌道Ⅱ的近地點A和遠(yuǎn)地點B距地心分別為r₁=R，r₂=3R．若衛(wèi)星在軌道Ⅱ上的機(jī)械能和在r₃=2R的圓周軌道Ⅲ上的機(jī)械能相同，則（　　）

• A． 衛(wèi)星在近地圓軌道Ⅰ上運(yùn)行的周期與地球自轉(zhuǎn)周期相同
• B． 從軌道Ⅰ發(fā)射到軌道Ⅱ需要在近地的A點一次性給它提供能量$\frac{GMm}{4R}$
• C． 衛(wèi)星在橢圓軌道上的周期為T₀$\sqrt{（\frac{{r}_{2}+R}{R}）^{3}}$
• D． 衛(wèi)星在橢圓軌道Ⅱ上自由運(yùn)行時，它在B點的機(jī)械能大于在A點的機(jī)械能

Answer 1

分析 根據(jù)開普勒第三定律比較衛(wèi)星在近地圓軌道Ⅰ上運(yùn)行的周期與地球同步衛(wèi)星周期的關(guān)系，即得到與地球自轉(zhuǎn)周期關(guān)系．根據(jù)能量守恒定律求衛(wèi)星變軌需要提供的能量．由開普勒第三定律求衛(wèi)星在橢圓軌道上的周期．衛(wèi)星在橢圓軌道上運(yùn)動時機(jī)械能是守恒的．

解答 解：A、根據(jù)開普勒第三定律可知，衛(wèi)星在近地圓軌道Ⅰ上運(yùn)行的周期小于地球同步衛(wèi)星周期，即小于地球自轉(zhuǎn)周期．故A錯誤．
B、設(shè)從軌道Ⅰ發(fā)射到軌道Ⅱ需要在近地的A點一次性給它提供能量為E．衛(wèi)星在軌道Ⅰ和軌道Ⅲ上的速率分別為v₁和v₃．
則v₁=$\sqrt{\frac{GM}{R}}$，v₃=$\sqrt{\frac{GM}{2R}}$
據(jù)題知，衛(wèi)星在軌道Ⅱ上的機(jī)械能和在r₃=2R的圓周軌道Ⅲ上的機(jī)械能相同，根據(jù)能量守恒定律得：
-$\frac{GMm}{R}$+$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$+E=$\frac{1}{2}m{v}_{3}^{2}$+（-$\frac{GMm}{2R}$）
聯(lián)立解得 E=$\frac{GMm}{4R}$．故B正確．
C、設(shè)衛(wèi)星在橢圓軌道上的周期為T，而地球同步衛(wèi)星的軌道半徑為r．根據(jù)開普勒第三定律得：
  $\frac{（\frac{{r}_{1}+{r}_{2}}{2}）^{3}}{{T}^{2}}$=$\frac{{r}^{3}}{{T}_{0}^{2}}$
即：r₁=R，r₂=3R，而r＞R
解得 T=T₀$\sqrt{（\frac{{r}_{2}+R}{2r}）^{3}}$，2r≠R，故C錯誤．
D、衛(wèi)星在橢圓軌道Ⅱ上自由運(yùn)行時，只有萬有引力對它做功，其機(jī)械能守恒，則它在B點的機(jī)械能等于在A點的機(jī)械能．故D錯誤．
故選：B

點評 本題是信息給予題，首先要讀懂題意，知道引力勢能的表達(dá)式是E_p=-$\frac{GMm}{r}$，要知道r的準(zhǔn)確含義：r是衛(wèi)星與地心間的距離．要注意只有衛(wèi)星做勻速圓周運(yùn)動，才能根據(jù)萬有引力等于向心力列式．對于橢圓運(yùn)動，應(yīng)根據(jù)開普勒定律研究衛(wèi)星的運(yùn)動規(guī)律．