Question

（2010?泰州模擬）在坐標系xOy平面的第一象限內(nèi)，有一個勻強磁場，磁感應強度大小恒為B₀，方向垂直于xOy平面，且隨時間作周期性變化，如圖所示，規(guī)定垂直xOy平面向里的磁場方向為正．一個質量為m，電荷量為q的正粒子，在t=0時刻從坐標原點以初速度v₀沿x軸正方向射入，不計重力的影響，經(jīng)過一個磁場變化周期T（未確定）的時間，粒子到達第Ⅰ象限內(nèi)的某點P，且速度方向仍與x軸正方向平行同向．則
（1）粒子進入磁場后做圓周運動的半徑是多大？
（2）若O、P連線與x軸之間的夾角為45°，則磁場變化的周期T為多大？
（3）因P點的位置隨著磁場周期的變化而變化，試求P點的縱坐標的最大值為多少？

Answer 1

分析：（1）粒子進入磁場后，由洛倫茲力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出粒子圓周運動的半徑．
（2）若O、P連線與x軸之間的夾角為45°，粒子在磁場變化的前后半個周期T內(nèi)速度的偏向角都是90°，運動時間都是粒子圓周運動周期的

1

4

，求出粒子圓周運動的周期，再求解磁場變化的周期T．
（3）根據(jù)幾何知識求出P點橫坐標和縱坐標與粒子圓周運動半徑的關系．根據(jù)粒子在第一象限運動的條件求解P點的縱坐標的最大值．

解答：解：
（1）粒子進入磁場后做圓周運動的軌道半徑為r，根據(jù)牛頓第二定律得
       qv0B=m

v02

r

∴r=

mv0

qB

=4×10-3m
（2）O、P連線與x軸之間的夾角為45°，由運動的對稱性，粒子經(jīng)兩個四分之一圓弧到達P點，設圓周運動周期為T₀，由T₀=

2πr

v0

，得T₀=

2πm

qB

∴T=

T0

2

=

πm

qB

（3）設兩段圓弧的圓心OO的連線與y軸夾角為θ，P點的縱坐標為y，圓心O到y(tǒng)軸之間的距離為x，則由幾何關系，得
  y=2r+2rcosθ
  sinθ=

x

2r

保證粒子在第一象限內(nèi)運動，x≥r
當θ=30⁰時，y取最大，
y_m=（2+

3

）r=

mv0

qB

=4×10-3
答：
（1）粒子進入磁場后做圓周運動的半徑是4×10^-3m．
（2）若O、P連線與x軸之間的夾角為45°，磁場變化的周期T=

πm

qB

．
（3）P點的縱坐標的最大值為4×10^-3m．

點評：本題是帶電粒子在交變磁場中運動的問題，畫出粒子運動的軌跡，根據(jù)幾何知識求解半徑是關鍵．