Question

13．某行星的質(zhì)量為M，半徑為R；在其表面有一長(zhǎng)為L(zhǎng)的輕繩，一端栓一小球，另一端連接在可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的水平固定軸上，讓小球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，已知引力常量為G；求：
（1）在該行星表面發(fā)射衛(wèi)星的最小發(fā)射速度v₁？
（2）小球恰好能通過(guò)最高點(diǎn)的速度v₂？

Answer 1

分析 （1）最小的發(fā)射速度等于環(huán)繞行星做圓周運(yùn)動(dòng)的最大環(huán)繞速度，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，求出最小的發(fā)射速度．
（2）根據(jù)萬(wàn)有引力等于重力求出行星表面的重力加速度，根據(jù)重力提供向心力求出小球恰好能通過(guò)最高點(diǎn)的速度．

解答 解：（1）最小的發(fā)射速度等于最大的環(huán)繞速度，根據(jù)$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R}$得最小的發(fā)射速度為：v=$\sqrt{\frac{GM}{R}}$．
（2）根據(jù)$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$得行星表面的重力加速度為：g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$，
根據(jù)$m′g=m′\frac{{{v}_{2}}^{2}}{L}$得小球恰好通過(guò)最高點(diǎn)的速度為：${v}_{2}=\sqrt{gL}=\sqrt{\frac{GML}{{R}^{2}}}$．
答：（1）在該行星表面發(fā)射衛(wèi)星的最小發(fā)射速度為$\sqrt{\frac{GM}{R}}$．
（2）小球恰好能通過(guò)最高點(diǎn)的速度為$\sqrt{\frac{GML}{{R}^{2}}}$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵掌握萬(wàn)有引力定律的兩個(gè)重要理論：1、萬(wàn)有引力等于重力，2、萬(wàn)有引力提供向心力，并能靈活運(yùn)用．