Question

4．裝甲車和戰(zhàn)艦采用多層鋼板比采用同樣質(zhì)量的單層鋼板更能抵御穿甲彈的射擊．通過對(duì)一下簡化模型的計(jì)算可以粗略說明其原因．質(zhì)量為2m、厚度為2d的鋼板靜止在水平光滑桌面上．質(zhì)量為m的子彈以水平初速度v₀垂直射向該鋼板，剛好能將鋼板射穿．現(xiàn)把鋼板分成厚度均為d、質(zhì)量均為m的相同兩塊，間隔一段距離水平放置，如圖所示．若子彈以相同的速度垂直射向第一塊鋼板，穿出后再射向第二塊鋼板．設(shè)子彈在鋼板中受到的阻力為恒力，且兩塊鋼板不會(huì)發(fā)生碰撞．不計(jì)重力影響．求：
（1）子彈射穿質(zhì)量為2m、厚度為2d的鋼板后鋼板的速度和此過程系統(tǒng)損失的機(jī)械能；
（2）子彈射穿質(zhì)量為m、厚度為d的第一塊鋼板后的速度；
（3）子彈射入第二塊鋼板的深度．

Answer 1

分析 （1）子彈射穿質(zhì)量為2m、厚度為2d的鋼板時(shí)，系統(tǒng)的動(dòng)量守恒，由動(dòng)量守恒和功能關(guān)系可以求出他們最后的速度和此過程系統(tǒng)損失的機(jī)械能；
（2）子彈先射穿質(zhì)量為m、厚度為d的鋼板時(shí)，仍然采用動(dòng)量守恒和已知阻力做的功求出子彈的速度v₁．
（3）再用速度v₁穿進(jìn)第二塊鋼板，仍然利用動(dòng)量定理和功能關(guān)系求出子彈在第二塊鋼板中進(jìn)入的深度．

解答 解：（1）質(zhì)量為m的子彈以某一速度v₀垂直射向該鋼板，剛好能將鋼板射穿，設(shè)鋼板和子彈獲得速度為v，取向右為正方向，則由系統(tǒng)動(dòng)量守恒得：
mv₀=（m+2m）v…①
得：v=$\frac{1}{3}$v₀；
此過程系統(tǒng)損失的機(jī)械能為：△E=$\frac{1}{2}$m${v}_{0}^{2}$-$\frac{1}{2}•3m{v}^{2}$=$\frac{1}{3}m{v}_{0}^{2}$
（2）對(duì)于上題過程，由能量守恒得：
f•2d=$\frac{1}{2}$m${v}_{0}^{2}$-$\frac{1}{2}•3m{v}^{2}$…②
設(shè)子彈射穿質(zhì)量為m、厚度為d的第一塊鋼板后速度v₁，鋼板獲得速度v₂．取向右為正方向，則由系統(tǒng)動(dòng)量守恒得：
mv₀=mv₁+mv₂…③
根據(jù)能量守恒得：fd=$\frac{1}{2}$m${v}_{0}^{2}$-$\frac{1}{2}$m${v}_{1}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$…④
聯(lián)立①②③④解得：v₁=$\frac{3-\sqrt{3}}{6}$v₀
（3）子彈以速度v₁垂直射向第二塊鋼板在第二塊鋼板中進(jìn)入深度d₀，公共速度v₃，則由系統(tǒng)動(dòng)量守恒和摩擦力做功等于系統(tǒng)動(dòng)能的減少，有：
mv₁=2mv₃…⑤
f×d₀=$\frac{1}{2}$m${v}_{1}^{2}$-$\frac{1}{2}$×2m${v}_{3}^{3}$…⑥
聯(lián)立以上六式化簡得：d₀=$\frac{1}{2}$（$\frac{\sqrt{3}}{2}$+1）d
答：（1）子彈射穿質(zhì)量為2m、厚度為2d的鋼板后鋼板的速度為$\frac{1}{3}$v₀；此過程系統(tǒng)損失的機(jī)械能為$\frac{1}{3}m{v}_{0}^{2}$．
（2）子彈射穿質(zhì)量為m、厚度為d的第一塊鋼板后的速度為$\frac{3-\sqrt{3}}{6}$v₀．
（3）子彈射入第二塊鋼板的深度為$\frac{1}{2}$（$\frac{\sqrt{3}}{2}$+1）d．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵要明確子彈射穿和進(jìn)入鋼板過程，系統(tǒng)遵守動(dòng)量守恒和能量守恒，反復(fù)運(yùn)用動(dòng)量守恒和能量守恒或功能關(guān)系即阻力做功等于系統(tǒng)動(dòng)能的減少，即可解決這類問題．