Question

9．已知彈簧所儲存的彈性勢能與其形變量的平方成正比，如圖所示，一輕彈簧左端固定在粗糙的水平軌道M點(diǎn)的豎直擋板上，彈簧處于自然狀態(tài)時右端位于O點(diǎn)，軌道的MN段與豎直光滑半圓軌道相切于N點(diǎn)，ON長為l=1.9m，半圓軌道半徑R=0.6m．現(xiàn)將質(zhì)量為m的小物塊放于O點(diǎn)并用力緩慢向左壓縮x時釋放，小物塊剛好能達(dá)到N點(diǎn)；若向左緩慢壓縮2x時釋放，小物塊剛好通過B點(diǎn)，小物塊與水平軌道之間的動摩擦因數(shù)μ=0.25，g取10m/s²．小物塊看成質(zhì)點(diǎn)．求：
（1）彈簧的壓縮量x為多少？
（2）若半圓軌道的半徑大小可以發(fā)生改變，則當(dāng)軌道半徑為多大時，小物塊從B點(diǎn)飛出后，落地點(diǎn)到N點(diǎn)的水平距離最大，最大距離為多少？
（3）若小物塊質(zhì)量m=1kg，求符合上述條件時，小物塊對B點(diǎn)作用力的大�。�

Answer 1

分析 （1）物塊恰好能通過最高點(diǎn)B，在B點(diǎn)由重力提向心力，對兩種情況，分別用能量守恒定律列式，結(jié)合彈性勢能的關(guān)系求解x．
（2）由題意，分析出彈簧壓縮量為2x時的彈性勢能．小物塊從B點(diǎn)飛出后做平拋運(yùn)動，由平拋運(yùn)動的規(guī)律得到水平距離與軌道半徑的關(guān)系，再由能量守恒分析彈簧的彈性勢能與B點(diǎn)速度的關(guān)系，聯(lián)立求解．
（3）由上題結(jié)果求出B點(diǎn)的速度，由牛頓第二、第三定律求小物塊對B點(diǎn)作用力的大�。�

解答 解：（1）據(jù)題得，將彈簧向左壓縮x時，彈簧的彈性勢能為 E_P1=kx²，（k是比例系數(shù)）…①
物塊從彈簧釋放到N的過程中，由動能定理有：E_P1=μmg（x+l）…②
將彈簧向左壓縮2x時，彈簧的彈性勢能為 E_P2=k（2x）²=4E_P1 …③
物塊恰好能通過最高點(diǎn)B時，有 mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$…④
物塊從彈簧釋放到B的過程中，由動能定理有：E_P2=μmg（2x+l）+2mgR+$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$…⑤
聯(lián)立①～⑤得：x=$\frac{5R}{4μ}$-$\frac{3l}{2}$=$\frac{5×0.6}{4×0.25}$-$\frac{3×1.9}{2}$=0.15m…⑥
（2）由上解得 E_P2=4μmg（x+l）=4×0.25×mg（0.15+1.9）=2.05mg…⑦
小物塊從B點(diǎn)飛出后做平拋運(yùn)動，則水平距離為：S=v_Bt=v_B$\sqrt{\frac{2×2R}{g}}$…⑧
物塊從彈簧釋放到B的過程中，由動能定理有：E_P2=μmg（2x+l）+2mgR+$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$…⑨
由⑦⑧⑨解得：S=$\sqrt{（3-4R）•4R}$…（11）
根據(jù)數(shù)學(xué)知識可知，當(dāng)3-4R=4R，即R=$\frac{3}{8}$m時S有最大值，S的最大值為 S_max=1.5m…（12）
（3）若小物塊質(zhì)量m=1kg，符合上述條件時，由⑧解得 v_B=$\sqrt{15}$m/s…（13）
在B點(diǎn)，由牛頓第二定律得 mg+N=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$…（14）
解得：N=30N
由牛頓第三定律得，小物塊對B點(diǎn)作用力的大小為30N．
答：（1）彈簧的壓縮量x為0.15m．
（2）當(dāng)軌道半徑為$\frac{3}{8}$m時，小物塊從B點(diǎn)飛出后，落地點(diǎn)到N點(diǎn)的水平距離最大，最大距離為1.5m．
（3）小物塊對B點(diǎn)作用力的大小為30N．

點(diǎn)評 解決本題的關(guān)鍵有二：一是抓住題的信息分析彈簧彈性勢能的關(guān)系．二是根據(jù)平拋運(yùn)動的規(guī)律和動能定理結(jié)合得到平拋運(yùn)動的水平距離與軌道半徑的關(guān)系式，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識求極值．