Question

17．某高速公路的一個出口路段如圖所示，情景簡化：轎車從出口A進(jìn)入匝道，先勻減速直線通過下坡路段至B點(diǎn)（通過B點(diǎn)前后速率不變），再勻速率通過水平圓弧路段至C點(diǎn)，最后從C點(diǎn)沿平直路段勻減速到D點(diǎn)停下．已知轎車在A點(diǎn)的速度v_o=72km/h，AB長L₁=150m；BC為四分之一水平圓弧段，限速（允許通過的最大速度）v=36km/h，輪胎與BC段路面間的動摩擦因數(shù)u=0.5，最大靜摩擦力可認(rèn)為等于滑動摩擦力，C段長L₂=50m，重力加速度g取10m/s²．
（1）若轎車到達(dá)B點(diǎn)時(shí)速度為v₁=18km/h，求轎車在AB段加速度的大��；
（2）為保證行車安全，車輪不側(cè)滑，求水平圓弧段BC半徑R的最小值；
（3）轎車從A點(diǎn)到D點(diǎn)所用的最短時(shí)間為多少？

Answer 1

分析 （1）轎車在AB段做勻減速直線運(yùn)動，已知初速度、位移和末速度，根據(jù)速度位移關(guān)系公式求解加速度．
（2）轎車在BC段做勻速圓周運(yùn)動，由靜摩擦力充當(dāng)向心力，為保證行車安全，車輪不打滑，所需要的向心力不大于最大靜摩擦力，據(jù)此列式求解半徑R的最小值．
（3）分三段，分別由運(yùn)動學(xué)公式求解時(shí)間，即可得到所用的最短總時(shí)間．

解答 解：（1）v₀=72km/h=20m/s，v₁=18km/h=5m/s，
根據(jù)速度位移公式得，${{v}_{0}}^{2}-{{v}_{1}}^{2}=2a{L}_{1}$，解得轎車在AB段的加速度大小$a=\frac{400-25}{300}m/{s}^{2}=1.25m/{s}^{2}$．
（2）汽車在BC段做圓周運(yùn)動，靜摩擦力提供 向心力，
${F}_{1}=m\frac{{v}^{2}}{R}$，
為了確保安全，則須滿足F₁≤μmg，
代入數(shù)據(jù)解得R≥20m，即R_min=20m．
（3）設(shè)AB段時(shí)間為t₁，BC段時(shí)間為t₂，CD段時(shí)間為t₃，全程的最短時(shí)間為t，
${L}_{1}=\frac{{v}_{0}+v}{2}{t}_{1}$，
$\frac{1}{2}πR=v{t}_{2}$，
${L}_{2}=\frac{v}{2}{t}_{3}$，
總時(shí)間t=t₁+t₂+t₃，
代入數(shù)據(jù)解得t=23.14s．
答：（1）轎車在AB段加速度的大小為1.25m/s²；
（2）水平圓弧段BC半徑R的最小值為20m；
（3）轎車從A點(diǎn)到D點(diǎn)所用的最短時(shí)間為23.14s．

點(diǎn)評 本題是運(yùn)動學(xué)與動力學(xué)綜合題，能結(jié)合物體的運(yùn)動情況，靈活選擇運(yùn)動學(xué)的公式形式是關(guān)鍵，當(dāng)不涉及加速度而要求時(shí)間時(shí)，可用位移等于平均速度乘以時(shí)間來求．