Question

19．如圖所示，光滑水平面AB與半徑為R=1m的豎直光滑半圓軌道平滑銜接，一個質量為m=1kg的小球在A處與一壓縮彈簧靠在一起（不連接），釋放小球后，小球開始向右運動，與彈簧分離后，經過B點進入導軌瞬間對導軌的壓力為其重力的8倍，之后沿導軌運動到C點，重力的加速度為g=10m/s²，求：
（1）釋放小球前彈簧的彈性勢能E_p；
（2）小球離開最高點C后落回水平面時離B點的距離；
（3）若AB軌道的動摩擦因數μ=0.5，在滿足第（1）問的前提下，要使小球能到達C點，AB的長度應該滿足什么條件？

Answer 1

分析 （1）研究物體經過B點的狀態(tài)，根據牛頓第二定律求出物體經過B點的速度，得到物體的動能，物體從A點至B點的過程中，根據能量守恒定律求解釋放小球前彈簧的彈性勢能E_p．
（2）小球從B到C，遵守機械能守恒定律，由此定律求出小球經過C點的速度．小球離開最高點C后做平拋運動，根據平拋運動的規(guī)律和幾何關系求解落回水平面時離B點的距離．
（3）求出小球能到達C點的臨界速度，然后應用能量守恒定律求出AB間的距離，再分析答題．

解答 解：（1）小球經過B點時，由支持力與重力的合力提供向心力，由牛頓第二定律得：
  F_N-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$；
由題意：F_N=8mg
聯(lián)立解得：v_B=$\sqrt{7gR}$=$\sqrt{70}$m/s；
根據能量守恒定律，彈簧的彈性勢能：
 E_p=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$=$\frac{1}{2}×1×70$J=35J
（2）小球從B到C，由機械能守恒定律，得：
  $\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$+2mgR=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
解得 v_C=$\sqrt{30}$m/s
小球離開最高點C后做平拋運動，則得：
豎直方向：2R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
水平方向：x=v_Ct
解得 x=2$\sqrt{3}$m
（3）若小球恰好運動到C點，在C點重力提供向心力，
由牛頓第二定律得：mg=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
由能量守恒定律得：
 E_P=$\frac{1}{2}$mv₀²+μmgs+2mgR，代入數據解得：s=4m
故要使小球能到達C點，AB的長度應該滿足的條件為s≤4m
答：
（1）釋放小球前彈簧的彈性勢能E_p是35J．
（2）小球離開最高點C后落回水平面時離B點的距離是2$\sqrt{3}$m．
（3）要使小球能到達C點，AB的長度應該滿足的條件為s≤4m．

點評 本題是力學綜合題，分析清楚小球的運動過程，把握各個狀態(tài)和過程的規(guī)律，應用牛頓第二定律、機械能守恒定律、能量守恒定律即可正確解題．