Question

7．如圖所示，質(zhì)量為1kg的物塊A置于傾角為37°的光滑固定斜面上，質(zhì)量也為1kg的煤塊B位于水平傳送帶的左端，A，B由跨過定滑輪分別與斜面、傳送帶平行的輕繩相連，傳送帶始終以速度v₀=2m/s向右勻速運(yùn)送；某時(shí)刻B從傳送帶左端以速度v₁=6m/s向右運(yùn)動(dòng)，且B與傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.2，假設(shè)斜面、輕繩、傳送帶均足夠長，A不會(huì)碰到定滑輪，定滑輪的質(zhì)量與摩擦均不計(jì)，g取10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．求：
（1）B向右運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間；
（2）B回到傳送帶左端時(shí)的速度；
（3）上述過程中B與傳動(dòng)帶間因摩擦產(chǎn)生的劃痕總長度．

Answer 1

分析 （1）B向右運(yùn)動(dòng)的過程中分別以A與B為研究的對(duì)象，結(jié)合牛頓第二定律先求出加速度，然后由運(yùn)動(dòng)學(xué)的公式求出運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；
（2）B向左運(yùn)動(dòng)的過程中B為研究的對(duì)象，結(jié)合牛頓第二定律先求出加速度，然后由運(yùn)動(dòng)學(xué)的公式求出B回到傳送帶左端的速度；
（3）求出B運(yùn)動(dòng)的各段的時(shí)間，然后求出傳送帶的位移，然后求出劃痕的長度．

解答 解：（1）B向右運(yùn)動(dòng)減速運(yùn)動(dòng)的過程中，剛開始時(shí)，B的速度大于傳送帶的速度，以B為研究的對(duì)象，水平方向B受到向左的摩擦力與A對(duì)B的拉力，設(shè)AB之間繩子的拉力為T₁，以向左為正方向，得：
T₁+μmg=ma₁  ①
以A為研究的對(duì)象，則A的加速度的大小始終與B是相等的，A向上運(yùn)動(dòng)的過程中，由牛頓第二定律得：
mgsin37°-T₁=ma₁…②
聯(lián)立①②可得：a₁=$\frac{gsin37°+μg}{2}$=4m/s²…③
B的速度與傳送帶的速度相等時(shí)所用的時(shí)間：t₁=$\frac{{v}_{0}-{v}_{1}}{{a}_{1}}$=1s；
當(dāng)B的速度與傳送帶的速度相等之后，B仍然做減速運(yùn)動(dòng)，而此時(shí)B的速度小于傳送帶的速度，所以受到的摩擦力變成了向右，所以其加速度也發(fā)生了變化，此后B向右運(yùn)動(dòng)減速運(yùn)動(dòng)的過程中，設(shè)AB之間繩子的拉力為T₂，以B為研究的對(duì)象，水平方向B受到向右的摩擦力與A對(duì)B的拉力，由牛頓第二定律得：
T₂-μmg=ma₂…④
以A為研究的對(duì)象，則A的加速度的大小始終與B是相等的，A向上運(yùn)動(dòng)的過程中，由牛頓第二定律得：
mgsin37°-T₂=ma₂…⑤
聯(lián)立④⑤可得：a₂=$\frac{gsin37°-μg}{2}$=2m/s²，
當(dāng)B向右達(dá)到最右端時(shí)的速度等于0，再經(jīng)過時(shí)間：t₂=$\frac{{v}_{0}}{{a}_{2}}$=1s，
B向右運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間：t=t₁+t₂=1s+1s=2s；
（2）B向左運(yùn)動(dòng)的過程中，受到的摩擦力的方向仍然向右，仍然受到繩子的拉力，同時(shí)，A受到的力也不變，所以它們受到的合力不變，所以B的加速度為：
a₃=a₂=2m/s²，
t₁時(shí)間內(nèi)B的位移：x₁=$\frac{{v}_{0}+{v}_{1}}{2}$t₁=4m，方向：向右，
t₂時(shí)間內(nèi)B的位移：x₂=$\frac{0+{v}_{0}}{2}$t₂=1m，方向：向右，
B的總位移：x=x₁+x₂=4+1=5m
B回到傳送帶左端的位移：x₃=x=5m，
速度：v=$\sqrt{2{a}_{3}{x}_{3}}$=2$\sqrt{5}$m/s；
（3）t₁時(shí)間內(nèi)傳送帶的位移：x₁′=v₀t₁=2m，
該時(shí)間內(nèi)傳送帶相對(duì)于B的位移：△x₁=x₁-x₁′=2m，
t₂時(shí)間內(nèi)傳送帶的位移：x₂′=v₀t₂=2×1m=2m，
該時(shí)間內(nèi)傳送帶相對(duì)于B的位移：△x₂=x₂′-x₂=1m，
B回到傳送帶左端的時(shí)間為t₃：則t₃=$\frac{v}{{a}_{3}}$=$\sqrt{5}$s，
t₃時(shí)間內(nèi)傳送帶的位移：x₃′=v₀t₃=2$\sqrt{5}$m，
該時(shí)間內(nèi)傳送帶相對(duì)于B的位移：△x₃=x₃′+x₃=（5+2$\sqrt{5}$）m，
劃痕的長度：L=△x₁+△x₂+△x₃=（8+2$\sqrt{5}$）m；
答：（1）B向右運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為2s；
（2）B回到傳送帶左端時(shí)的速度為2$\sqrt{5}$m/s；
（3）上述過程中B與傳動(dòng)帶間因摩擦產(chǎn)生的劃痕總長度為（8+2$\sqrt{5}$）m．

點(diǎn)評(píng) 該題中，開始時(shí)物體的速度大于傳送帶的速度，減速后的速度小于傳送帶的速度，所以傳送帶大于物體 摩擦力的方向是不同的，則 物體的加速度會(huì)發(fā)生變化．這是題目中第一處容易錯(cuò)誤的地方．開始時(shí)物體的速度大于傳送帶的速度，減速后的速度小于傳送帶的速度，所以開始時(shí)物體相對(duì)于傳送帶向右運(yùn)動(dòng)，之后物體相對(duì)于傳送帶向左運(yùn)動(dòng)，在計(jì)算產(chǎn)生的內(nèi)能的過程中，一定要分段計(jì)算，若合在一起，則計(jì)算的結(jié)果就錯(cuò)了．這是第二處容易錯(cuò)誤的地方．要細(xì)心．