Question

4．一傳送帶裝置示意如圖，傳送帶在AB區(qū)域是傾斜的，AB的長(zhǎng)度l=4.0m、高度差h=0.8m．工作時(shí)傳送帶向上運(yùn)行的速度保持不變，現(xiàn)將質(zhì)量均為m=4kg的小貨箱（可視為質(zhì)點(diǎn)）一個(gè)接一個(gè)在A處從靜止釋放到傳送帶上，釋放小貨箱的時(shí)間間隔均為T(mén)=2s．小貨箱一運(yùn)動(dòng)到B處就立刻被取走．傳送帶由電動(dòng)機(jī)帶動(dòng)，傳送帶與輪子間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，不計(jì)輪軸處的摩擦，取g=10m/s²．
（1）當(dāng)傳送帶運(yùn)行的速度v=2m/s時(shí)，小貨箱從A處運(yùn)動(dòng)到B處所用時(shí)間t=3s，求貨箱在勻加速運(yùn)動(dòng)過(guò)程的加速度大小．
（2）調(diào)整傳送帶運(yùn)行的速度為另一個(gè)更小的值，此后傳送帶在正常運(yùn)送小貨箱的一段相當(dāng)長(zhǎng)的時(shí)間內(nèi)，小貨箱機(jī)械能的總增加量與電動(dòng)機(jī)對(duì)外做的功之比為17：20，求電動(dòng)機(jī)的平均輸出功率$\overline{P}$．

Answer 1

分析 （1）小貨箱放在A處后可能一直向上做加速運(yùn)動(dòng)，有可能是先加速后減速，根據(jù)勻加速直線運(yùn)動(dòng)位移時(shí)間公式即可求解；
（2）傳送帶上總有4個(gè)貨箱在運(yùn)動(dòng)，說(shuō)明貨箱在A處釋放后經(jīng)過(guò)t=4T的時(shí)間運(yùn)動(dòng)至B處．求出勻加速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，根據(jù)牛頓第二定律求出摩擦力，進(jìn)而求出這段時(shí)間內(nèi)，傳送帶克服該貨箱的摩擦力做的功，貨箱在此后的時(shí)間內(nèi)隨傳送帶做勻速運(yùn)動(dòng)，求出傳送帶克服該貨箱的摩擦力做的功，進(jìn)而求出每運(yùn)送一個(gè)小貨箱電動(dòng)機(jī)對(duì)外做的功，根據(jù)$\overline{P}=\frac{W}{t}$求出平均功率．

解答 解：（1）設(shè)貨箱向上加速的加速度為a，加速的時(shí)間為t₁，勻速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t₂，則：
t₁+t₂=3s    ①
v=at₁ ②
l=$\frac{1}{2}a{t}_{1}^{2}+v•{t}_{2}$ ③
聯(lián)立以上方程得：a=1 m/s²，t₁=2s
（2）貨箱在傳送帶上加速運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，仍然是受到重力、支持力和滑動(dòng)摩擦力的作用，各個(gè)力都沒(méi)有發(fā)生變化，所以貨箱的加速度也不變，仍然是1 m/s²，若調(diào)整傳送帶運(yùn)行的速度為另一個(gè)更小的值，則貨箱只需要一個(gè)更小的時(shí)間即可達(dá)到與傳送帶速度相等，然后做勻速直線運(yùn)動(dòng)．由于傳送帶的速度變小，所以貨箱從A到達(dá)B的時(shí)間變長(zhǎng)，則時(shí)間一定是大于3s，可知傳送帶上可能是2個(gè)貨箱，有可能是一個(gè)貨箱．
由題，傳送帶在正常運(yùn)送小貨箱的一段相當(dāng)長(zhǎng)的時(shí)間內(nèi)，可以認(rèn)為有n個(gè)貨箱從A運(yùn)動(dòng)到B，n個(gè)貨箱獲得的機(jī)械能與電動(dòng)機(jī)對(duì)外做的功之比與一個(gè)貨箱獲得的機(jī)械能與電動(dòng)機(jī)傳送一個(gè)貨箱消耗的電能的比值是相同的．
貨箱加速的過(guò)程中相對(duì)于傳送帶的位移：${x}_{相對(duì)}=v{t}_{1}-\frac{1}{2}a{t}_{1}^{2}$   ④
聯(lián)立②④得：${x}_{相對(duì)}=\frac{1}{2}a{t}_{1}^{2}$=$\frac{1}{2}v{t}_{1}$   ⑤
加速的過(guò)程中產(chǎn)生的內(nèi)能：Q=f•x_相對(duì) ⑥
而該過(guò)程中貨箱的位移：$x′=\frac{1}{2}a{t}_{1}^{2}$=x_相對(duì)  ⑦
貨箱獲得的機(jī)械能：△E=f•x′+mgsinθ•（l-x′）
消耗的電能：W=△E+Q
由題意：$\frac{△E}{W}=\frac{17}{20}$
聯(lián)立得：v=1.18m/s，t₁=1.18s，t₂=2.74s，W=37.66J
由題意，每隔2s放一個(gè)貨箱，則每一個(gè)2s內(nèi)電動(dòng)機(jī)做的功等于W，所以電動(dòng)機(jī)的電功率：
$\overline{P}=\frac{W}{T}=\frac{37.66}{2}=18.83$W
答：（1）當(dāng)傳送帶運(yùn)行的速度v=2m/s時(shí)，小貨箱從A處運(yùn)動(dòng)到B處所用時(shí)間t=3s，貨箱在勻加速運(yùn)動(dòng)過(guò)程的加速度大小是1 m/s²．
（2）小貨箱機(jī)械能的總增加量與電動(dòng)機(jī)對(duì)外做的功之比為17：20，電動(dòng)機(jī)的平均輸出功率$\overline{P}$是18.83W．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了勻變速直線運(yùn)動(dòng)基本公式及恒力做功公式、平均功率公式的直接應(yīng)用，要求同學(xué)們能正確分析貨箱的運(yùn)動(dòng)情況，在計(jì)算貨箱勻加速過(guò)程的功時(shí)，也可以由動(dòng)能定理去求解，難度適中．