Question

10．已知繞中心天體做勻速圓周運(yùn)動的星體的軌道半徑r，運(yùn)動周期為T，
（1）中心天體的質(zhì)量M=$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$；
（2）若中心天體的半徑為R，則其平均密度ρ=$\frac{3π{r}^{3}}{G{T}^{2}{R}^{3}}$；
（3）若星體在中心天體表面附近做勻速圓周運(yùn)動，則其平均密度ρ=$\frac{3π}{G{T}^{2}}$．

Answer 1

分析 根據(jù)萬有引力提供圓周運(yùn)動向心力求得中心天體的質(zhì)量，根據(jù)密度公式計算中心天體的平均密度，在星體表面做圓周運(yùn)動時軌道半徑與天體半徑相等．

解答 解：（1）根據(jù)萬有引力提供圓周運(yùn)動向心力有$G\frac{mM}{{r}^{2}}=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$
可得中心天體的質(zhì)量M=$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$
（2）根據(jù)密度公式可知，中心天體的平均密度$ρ=\frac{M}{V}=\frac{\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$=$\frac{3π{r}^{3}}{G{T}^{2}{R}^{3}}$
（3）當(dāng)星體在中心天體附近勻速圓周運(yùn)動時有r=R，所以中心天體的平均密度ρ=$\frac{3π}{G{T}^{2}}$
故答案為：$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$，$\frac{3π{r}^{3}}{G{T}^{2}{R}^{3}}$，$\frac{3π}{G{T}^{2}}$

點(diǎn)評 萬有引力提供圓周運(yùn)動向心力是解決本題的關(guān)鍵入手點(diǎn)，注意球體的體積公式和密度公式．