Question

15．據(jù)報道，中國“嫦娥四號”將在2020年前擇時發(fā)射，屆時將開展人類首次對月球背面的地質(zhì)探測，設(shè)地球、月球的質(zhì)量分別為m₁、m₂，半徑分別為R₁、R₂，地球第一宇宙速度為v，所對應(yīng)的周期為T，試求“嫦娥四號”在環(huán)繞月球表面附近圓軌道飛行的速度和周期．

Answer 1

分析 根據(jù)題意可知，人造地球衛(wèi)星圍繞地球表面做勻速圓周運(yùn)動時，速度為v，周期為T，根據(jù)萬有引力提供向心力列式，嫦娥四號”在環(huán)繞月球表面附近圓軌道飛行做勻速圓周運(yùn)動時，根據(jù)萬有引力提供向心力，聯(lián)立方程即可求解．

解答 解：根據(jù)題意可知，人造地球衛(wèi)星圍繞地球表面做勻速圓周運(yùn)動時，速度為v，周期為T，
根據(jù)萬有引力提供向心力得：
$G\frac{{m}_{1}m}{{{R}_{1}}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{{R}_{1}}$=$m\frac{4{π}^{2}{R}_{1}}{{T}^{2}}$，
“嫦娥四號”在環(huán)繞月球表面附近圓軌道飛行做勻速圓周運(yùn)動時，根據(jù)萬有引力提供向心力得：
$G\frac{{m}_{2}m}{{{R}_{2}}^{2}}=m\frac{{{v}_{2}}^{2}}{{R}_{2}}$=$m\frac{4{π}^{2}{R}_{2}}{{T′}^{2}}$
解得：v₂=$v\sqrt{\frac{{m}_{2}{R}_{1}}{{m}_{1}{R}_{2}}}$，${T}_{2}=\sqrt{\frac{{m}_{1}{{R}_{1}}^{3}}{{m}_{2}{{R}_{2}}^{3}}}T$
答：“嫦娥四號”在環(huán)繞月球表面附近圓軌道飛行的速度為$v\sqrt{\frac{{m}_{2}{R}_{1}}{{m}_{1}{R}_{2}}}$，周期為$\sqrt{\frac{{m}_{1}{{R}_{1}}^{3}}{{m}_{2}{{R}_{2}}^{3}}}T$．

點評 本題主要考查了萬有引力提供向心力公式的直接應(yīng)用，知道地球第一宇宙速度就是人造地球衛(wèi)星圍繞地球表面做勻速圓周運(yùn)動時的速度，難度適中．