Question

8．已知行星Kepler-186f繞恒星Kepler452做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其周期為T₁；某人造衛(wèi)星在離地高度等于地球半徑的圓形軌道上繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其周期為T₂．恒星Kepler452的質(zhì)量與地球的質(zhì)量之比為p，行星Kepler-186f繞恒星Kepler452運(yùn)動(dòng)的軌道半徑與地球半徑之比為q，則T₁、T₂之比為（　�。�

• A． $\sqrt{\frac{{q}^{3}}{8p}}$
• B． $\sqrt{\frac{p}{8{q}^{3}}}$
• C． $\sqrt{\frac{{q}^{3}}{p}}$
• D． $\sqrt{\frac{p}{{q}^{3}}}$

Answer 1

分析 行星Kepler-186f繞恒星Kepler452做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)萬有引力提供向心力求出周期${T}_{1}^{\;}$；人造衛(wèi)星在離地高度等于地球半徑的圓形軌道上繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)萬有引力提供向心力求出${T}_{2}^{\;}$，求出比值

解答 解：設(shè)行星Kepler-186f質(zhì)量為${m}_{186}^{\;}$，恒星Kepler452質(zhì)量為${M}_{456}^{\;}$，行星Kepler-186f繞恒星Kepler452做勻速圓周運(yùn)動(dòng)軌道半徑為${r}_{1}^{\;}$
根據(jù)萬有引力提供向心力，有：$G\frac{{M}_{452}^{\;}{m}_{186}^{\;}}{{r}_{1}^{2}}={m}_{186}^{\;}\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{1}^{2}}{r}_{1}^{\;}$
解得：${T}_{1}^{\;}=\sqrt{\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{1}^{3}}{G{M}_{452}^{\;}}}$…①
人造衛(wèi)星在離地高度等于地球半徑的圓形軌道上繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)萬有引力提供向心力有：
$G\frac{{M}_{地}^{\;}m}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{2}^{2}}r$
解得：${T}_{2}^{\;}=\sqrt{\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{2}^{3}}{G{M}_{地}^{\;}}}$…②
聯(lián)立①②得：$\frac{{T}_{1}^{\;}}{{T}_{2}^{\;}}=\sqrt{\frac{{r}_{1}^{3}}{{r}_{2}^{3}}×\frac{{M}_{地}^{\;}}{{M}_{452}^{\;}}}=\sqrt{\frac{{q}_{\;}^{3}}{8}\frac{1}{p}}=\sqrt{\frac{{q}_{\;}^{3}}{8p}}$，故A正確，BCD錯(cuò)誤；
故選：A

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是明確衛(wèi)星的動(dòng)力學(xué)原理，然后根據(jù)萬有引力等于向心力列式分析，注意不是圍繞同一中心天體運(yùn)動(dòng)的，要注意構(gòu)建物理模型．