Question

8．如圖所示，兩個(gè)完全相同的彈性小球A和B質(zhì)量均為m，直徑很小，分別掛在長為1.0m和0.25m的細(xì)線上，重心在同一水平面且小球恰好相互接觸，現(xiàn)把第一個(gè)小球A向右拉開一個(gè)小角度后由靜止釋放，經(jīng)過多長時(shí)間兩球發(fā)生第10次碰撞（每次碰撞均為彈性正碰，g=π²）．

Answer 1

分析 由于兩球相撞時(shí)交換速度，則球A從最大位移處擺下來碰靜止的球B后，球A靜止，球B運(yùn)動．同樣，球B擺下來碰靜止的球A后，球B靜止，球A運(yùn)動．所以，總是只有一個(gè)球在擺動，兩球總是在最低點(diǎn)相碰；
分別計(jì)算出兩個(gè)單擺的周期，將各周期的一半加起來就是系統(tǒng)的周期；
系統(tǒng)每個(gè)周期內(nèi)小球碰撞2次，故碰撞10次需要5個(gè)全振動周期，根據(jù)題意需減去A球從振幅位置下落到平衡位置的時(shí)間再減去第十次碰撞后A球彈回振幅位置的時(shí)間，即為答案．

解答 解：球A擺動的周期（無球B時(shí)）為${T}_{1}=2π\(zhòng)sqrt{\frac{l}{g}}$．
     球B擺動的周期（無球A時(shí)）為${T}_{2}=2π\(zhòng)sqrt{\frac{\frac{l}{4}}{g}}$=$π\(zhòng)sqrt{\frac{l}{g}}$．
     故該振動系統(tǒng)振動的周期為T=$\frac{1}{2}（{T}_{1}+{T}_{2}）$=$\frac{3π}{2}\sqrt{\frac{l}{g}}$．
在每周期T中兩球發(fā)生兩次碰撞．球A從最大位移處由靜止釋放，經(jīng)$5T=\frac{15}{2}π\(zhòng)sqrt{\frac{l}{g}}$時(shí)間發(fā)生了10次碰撞后回到最大位移處．
根據(jù)題意，需用5次全振動時(shí)間減去球A第10次碰撞后從最低點(diǎn)回到最大位移處的時(shí)間$\frac{1}{4}$T₁，
所以從球A釋放到第10次相碰所經(jīng)歷的時(shí)間為t=$\frac{15}{2}π\(zhòng)sqrt{\frac{l}{g}}-\frac{1}{4}{T}_{1}$=$7π\(zhòng)sqrt{\frac{l}{g}}$．代入數(shù)據(jù)，得t=7S．
答：經(jīng)過7S兩球發(fā)生第10次碰撞．

點(diǎn)評 本題考查了單擺的周期公式，解決本題的關(guān)鍵是知道兩個(gè)擺總是一個(gè)在動，理解并會計(jì)算系統(tǒng)的周期