Question

20．如圖所示，一個(gè)質(zhì)量為m=2kg的小物塊（可看成質(zhì)點(diǎn)）開(kāi)始時(shí)靜止在高度h=0.2m、長(zhǎng)度L=4m、質(zhì)量M=1kg的木板AB的最左端A處，C點(diǎn)為AB的中點(diǎn)．木板上表面AC部分粗糙，C B部分光滑，下表面與水平地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ₁=0.1．現(xiàn)對(duì)小物塊施加一個(gè)水平向右的大小為F=12N的恒力，木板和小物塊恰好能保持相對(duì)靜止．已知最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，重力加速度g取10m/s²

（1）求小物塊與木板上表面AC部分間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ₂
（2）如果對(duì)小物塊施加一個(gè)水平向右的大小為F=14N的恒力，當(dāng)小物塊運(yùn)動(dòng)到達(dá)C點(diǎn)時(shí)，小物塊和木板的速度各為多少？
（3）在第（2）問(wèn)的情況下，當(dāng)小物塊到達(dá)C點(diǎn)時(shí)撤去F，求小物塊落地時(shí)與木板B端的水平距離．

Answer 1

分析 （1）對(duì)小物塊施加一個(gè)水平向右的大小為F=12N的恒力時(shí)二者相對(duì)靜止，由牛頓第二定律求出共同的加速度，然后對(duì)m進(jìn)行受力分析即可求出；
（2）根據(jù)牛頓第二定律分別求出A、B勻加速運(yùn)動(dòng)的加速度，再由位移公式求小物塊和木板的速度各為多少；
（3）由牛頓第二定律求m滑上光滑段時(shí)兩個(gè)物體的加速度，再由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求解二者分離的時(shí)間和各自的速度，最后結(jié)合平拋運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)即可求出．

解答 解：（1）由題意可知，當(dāng)F=12N時(shí)，二者一起做加速運(yùn)動(dòng)，選擇向右為正方向，則：
（m+M）a₀=F₀-μ₁（M+m）g
代入數(shù)據(jù)得：${a}_{0}=3m/{s}^{2}$
對(duì)m進(jìn)行受力分析可知，m受到重力、支持力拉力和摩擦力的作用，水平方向：
F₀-f₀=ma₀
豎直方向：N₁=mg
又：f₀=μ₂N₁
聯(lián)立解得：μ₂=0.3，f₀=6N
（2）如果對(duì)小物塊施加一個(gè)水平向右的大小為F=14N的恒力，當(dāng)小物塊的加速度：
${a}_{1}=\frac{F-{f}_{0}}{M}=4m/{s}^{2}$
M的加速度：${a}_{2}=\frac{{f}_{0}-{μ}_{1}（m+M）g}{M}=\frac{6-0.1×（2+1）×10}{1}=3m/{s}^{2}$
設(shè)當(dāng)小物塊運(yùn)動(dòng)到達(dá)C點(diǎn)時(shí)間是t₁，m的位移為x₁，M的位移是x₂，由運(yùn)動(dòng)學(xué)的公式和幾何關(guān)系得：
${x}_{1}=\frac{1}{2}{a}_{1}{t}_{1}^{2}$，${x}_{2}=\frac{1}{2}{a}_{2}{t}_{1}^{2}$；
${x}_{1}-{x}_{2}=\frac{1}{2}L$
聯(lián)立得：t₁=2s
所以小物塊的速度：v₁=a₁t₁=4×2=8m/s
木板的速度：v₂=a₂t₁=3×2=6m/s
（3）當(dāng)小物塊到達(dá)C點(diǎn)時(shí)撤去F后，小物塊在水平方向不受力，所以做勻速直線運(yùn)動(dòng)，而木板受到地面的摩擦力不變，由牛頓第二定律得：
Ma₃=-μ₁（m+M）g
代入數(shù)據(jù)得：${a}_{3}=-3m/{s}^{2}$
設(shè)再經(jīng)過(guò)時(shí)間t₂小物塊離開(kāi)木板，則：
${v}_{1}{t}_{2}-（{v}_{2}{t}_{2}+\frac{1}{2}{a}_{3}{t}_{2}^{2}）=\frac{1}{2}L$
代入數(shù)據(jù)解得：${t}_{2}=\frac{2}{3}$s，（或t₂=-2s，舍去）
此時(shí)木板的速度：${v}_{3}={v}_{2}+{a}_{2}{t}_{2}=6+（-3）×\frac{2}{3}=4$m/s
小物塊離開(kāi)木板后做平拋運(yùn)動(dòng)，平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間：${t}_{3}=\sqrt{\frac{2h}{g}}=\sqrt{\frac{2×0.2}{10}}=0.2$s
該過(guò)程中小物塊沿水平方向的位移：x₃=v₁t₃=8×0.2=1.6m
木板在水平方向做減速運(yùn)動(dòng)，其加速度：${a}_{4}=-\frac{{μ}_{1}Mg}{M}=-{μ}_{1}g=-0.1×10=-1m/{s}^{2}$
t₃時(shí)間內(nèi)木板的位移為：x₄=${v}_{3}{t}_{3}+\frac{1}{2}{a}_{4}{t}_{3}^{2}$=$4×0.2+\frac{1}{2}×（-1）×0．{2}^{2}=0.78$m
所以小物塊落地時(shí)與木板B端的水平距離：△x=x₃-x₄=1.6-0.78=0.82m
答：（1）小物塊與木板上表面AC部分間的動(dòng)摩擦因數(shù)是0.3；
（2）如果對(duì)小物塊施加一個(gè)水平向右的大小為F=14N的恒力，當(dāng)小物塊運(yùn)動(dòng)到達(dá)C點(diǎn)時(shí)，小物塊和木板的速度各為8m/s和6m/s；
（3）在第（2）問(wèn)的情況下，當(dāng)小物塊到達(dá)C點(diǎn)時(shí)撤去F，小物塊落地時(shí)與木板B端的水平距離是0.82m．

點(diǎn)評(píng) 本題是復(fù)雜的力學(xué)綜合題，要邊計(jì)算邊分析物體的運(yùn)動(dòng)情況，要抓住各個(gè)過(guò)程之間的聯(lián)系，如速度關(guān)系、位移關(guān)系，運(yùn)用牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式結(jié)合研究．