(1)理解不等式的性質(zhì)及其證明.
(2)掌握兩個(gè)(不擴(kuò)展到三個(gè))正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)的定理,并會(huì)簡單的應(yīng)用.
(3)掌握分析法、綜合法、比較法證明簡單不等式.
(4)掌握簡單不等式的解法.
(5)理解│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│
[注意]不等式在數(shù)學(xué)的各個(gè)分支中都有廣泛的應(yīng)用,同時(shí)還是繼續(xù)學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ).縱觀歷年試題,涉及不等式內(nèi)容的考題大致可分為以下幾類:①不等式的證明;②解不等式;③取值范圍的問題;④應(yīng)用題.
1.常用不等式:
(1)(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號(hào)).
(2)(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號(hào)).
(3)
(4)柯西不等式
(5).
2.極值定理
已知都是正數(shù),則有
(1)若積是定值,則當(dāng)時(shí)和有最小值;
(2)若和是定值,則當(dāng)時(shí)積有最大值.
3.一元二次不等式
,
如果與同號(hào),則其解集在兩根之外;如果與異號(hào),則其解集在兩根之間.簡言之:同號(hào)兩根之外,異號(hào)兩根之間.
;
.
4.含有絕對(duì)值的不等式 當(dāng)a> 0時(shí),有
.
或.
5.指數(shù)不等式與對(duì)數(shù)不等式
(1)當(dāng)時(shí),;
.
(2)當(dāng)時(shí),;
1、不等式的性質(zhì):
(1)同向不等式可以相加;異向不等式可以相減:若,則(若,則),但異向不等式不可以相加;同向不等式不可以相減;
(2)左右同正不等式:同向的不等式可以相乘,但不能相除;異向不等式可以相除,但不能相乘:若,則
若,則;
(3)左右同正不等式:兩邊可以同時(shí)乘方或開方:若,則或;
(4)若,,則;若,,則。
2. 不等式大小比較的常用方法:(1)作差:作差后通過分解因式、配方等手段判斷差的符號(hào)得出結(jié)果;(2)作商(常用于分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的代數(shù)式);(3)分析法;(4)平方法;(5)分子(或分母)有理化;(6)利用函數(shù)的單調(diào)性;(7)尋找中間量或放縮法 ;(8)圖象法。其中比較法(作差、作商)是最基本的方法。
3.利用重要不等式求函數(shù)最值時(shí),你是否注意到:“一正二定三相等,和定積最大,積定和最小”這17字方針。
4.常用不等式有:
(1)(根據(jù)目標(biāo)不等式左右的運(yùn)算結(jié)構(gòu)選用) ;
(2)a、b、cR,(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取等號(hào));
(3)若,則(糖水的濃度問題)。
5、證明不等式的方法:比較法、分析法、綜合法和放縮法(比較法的步驟是:作差(商)后通過分解因式、配方、通分等手段變形判斷符號(hào)或與1的大小,然后作出結(jié)論。).
常用的放縮技巧有:
6.簡單的一元高次不等式的解法:
標(biāo)根法:(1)分解成若干個(gè)一次因式的積,并使每一個(gè)因式中最高次項(xiàng)的系數(shù)為正;
(2)將每一個(gè)一次因式的根標(biāo)在數(shù)軸上,從最大根的右上方依次通過每一點(diǎn)畫曲線;并注意奇穿過偶彈回;
(3)根據(jù)曲線顯現(xiàn)的符號(hào)變化規(guī)律,寫出不等式的解集。
7.分式不等式的解法:分式不等式的一般解題思路是先移項(xiàng)使右邊為0,再通分并將分子分母分解因式,并使每一個(gè)因式中最高次項(xiàng)的系數(shù)為正,最后用標(biāo)根法求解。解分式不等式時(shí),一般不能去分母,但分母恒為正或恒為負(fù)時(shí)可去分母。
8.絕對(duì)值不等式的解法:
(1)分段討論法(最后結(jié)果應(yīng)取各段的并集):
(2)利用絕對(duì)值的定義;
(3)數(shù)形結(jié)合
9、含參不等式的解法:求解的通法是“定義域?yàn)榍疤?,函?shù)增減性為基礎(chǔ),分類討論是關(guān)鍵.”注意解完之后要寫上:“綜上,原不等式的解集是…”。注意:按參數(shù)討論,最后應(yīng)按參數(shù)取值分別說明其解集;但若按未知數(shù)討論,最后應(yīng)求并集.
提醒:(1)解不等式是求不等式的解集,最后務(wù)必有集合的形式表示;
(2)不等式解集的端點(diǎn)值往往是不等式對(duì)應(yīng)方程的根或不等式有意義范圍的端點(diǎn)值。
11.含絕對(duì)值不等式的性質(zhì):
同號(hào)或有
;
異號(hào)或有
.
12.不等式的恒成立,能成立,恰成立等問題:不等式恒成立問題的常規(guī)處理方式?(常應(yīng)用函數(shù)方程思想和“分離變量法”轉(zhuǎn)化為最值問題,也可抓住所給不等式的結(jié)構(gòu)特征,利用數(shù)形結(jié)合法)
1).恒成立問題
若不等式在區(qū)間上恒成立,則等價(jià)于在區(qū)間上
若不等式在區(qū)間上恒成立,則等價(jià)于在區(qū)間上
(1)設(shè)實(shí)數(shù)滿足,當(dāng)時(shí),的取值范圍是______
(答:);
(2)不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍_____
(答:);
(3)若不等式對(duì)滿足的所有都成立,則的取值范圍_____
(答:(,));
(4)若不等式對(duì)于任意正整數(shù)恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____(答:);
(5)若不等式對(duì)的所有實(shí)數(shù)都成立,求的取值范圍.(答:)
2). 能成立問題
若在區(qū)間上存在實(shí)數(shù)使不等式成立,則等價(jià)于在區(qū)間上;
若在區(qū)間上存在實(shí)數(shù)使不等式成立,則等價(jià)于在區(qū)間上的.
已知不等式在實(shí)數(shù)集上的解集不是空集,求實(shí)數(shù)的取值范圍______
(答:)
3). 恰成立問題
若不等式在區(qū)間上恰成立, 則等價(jià)于不等式的解集為;
若不等式在區(qū)間上恰成立, 則等價(jià)于不等式