13.3　 導(dǎo)數(shù)的綜合問(wèn)題

●知識(shí)梳理

1.若函數(shù)f(x)有導(dǎo)數(shù)，它的極值可在方程(x)=0的根處來(lái)考查，求函數(shù)y=f(x)的極值方法如下：

(1)求導(dǎo)數(shù)(x)；

(2)求方程(x)=0的根；

(3)檢查(x)在方程(x)=0的根的左右的值的符號(hào)，如果左負(fù)右正，那么函數(shù)y=f(x)在這個(gè)根處取得極小值；如果左正右負(fù)，那么函數(shù)y=f(x)在這個(gè)根處取得極大值.

2.設(shè)y=f(x)是一多項(xiàng)式函數(shù)，比較函數(shù)在閉區(qū)間［a，b］內(nèi)所有的極值，以及f(a)和f(b)，最大者為最大值，最小者為最小值.

●點(diǎn)擊雙基

1.函數(shù)f(x)=x³－3x+1在閉區(qū)間［－3，0］上的最大值、最小值分別是

A.1，－1　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 B.1，－17

C.3，－17　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.9，－19

解析：(x)=3x²－3=0，x=±1，f(－3)=－17，f(0)=1，f(1)=－1，f(－1)=3.

答案：C

2.函數(shù)f(x)=x³－3bx+3b在(0，1)內(nèi)有極小值，則

A.0<b<1　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　 B.b<1

C.b>0　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.b<

解析： (x)=3x²－3b，當(dāng)b>0，0<<1時(shí)，適合題意.

答案：A

3.已知f(x)=2x³－6x²+m(m為常數(shù))在［－2，2］上有最大值3，那么此函數(shù)在［－2，2］上的最小值是

A.－37　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　 B.－29

C.－5　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.以上都不對(duì)

解析：(x)=6x(x－2)，f(x)在(－2，0)上為增函數(shù)，在(0，2)上為減函數(shù)的，x=0時(shí)，f(x)=m最大.

∴m=3，f(－2)=－37，f(2)=－5.

答案：A

4.已知函數(shù)y=x³+ax²+bx+27在x=－1處有極大值，在x=3處有極小值，則a+b=________.

解析：y′=3x²+2ax+b，－1、3是3x²+2ax+b=0的兩根，∴a=－3，b=－9.

答案：－12

5.設(shè)函數(shù)f(x)=x³－－2x+5.若對(duì)任意x∈［－1，2］，都有f(x)>m，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________.

解析：(x)=3x²－x－2=0，x=1，－，

f(－1)=5，f(－)=5，f(1)=3，f(2)=7.

∴m<3.

答案：m∈(－∞，)

●典例剖析

[例1] (2004年天津，20)已知函數(shù)f(x)=ax³+bx²－3x在x=±1處取得極值.

(1)討論f(1)和f(－1)是函數(shù)f(x)的極大值還是極小值；

(2)過(guò)點(diǎn)A(0，16)作曲線y=f(x)的切線，求此切線方程.

剖析：(1)分析x=±1處的極值情況，關(guān)鍵是分析x=±1左右(x)的符號(hào).

(2)要分清點(diǎn)A(0，16)是否在曲線上.

解：(1)(x)=3ax²+2bx－3，依題意，(1)=(－1)=0，即

解得a=1，b=0.

∴f(x)=x³－3x，(x)=3x²－3=3(x+1)(x－1).

令(x)=0，得x=－1，x=1.

若x∈(－∞，－1)∪(1，+∞)，則(x)＞0，

故f(x)在(－∞，－1)上是增函數(shù)，f(x)在(1，+∞)上是增函數(shù).

若x∈(－1，1)，則(x)＜0，故f(x)在(－1，1)上是減函數(shù).

所以f(－1)=2是極大值，f(1)=－2是極小值.

(2)曲線y=x³－3x，點(diǎn)A(0，16)不在曲線上，設(shè)切點(diǎn)M(x₀，y₀)，則y₀=x₀³－3x.

∵(x₀)=3x₀²－3，

∴切線方程為y－y₀=3(x₀²－1)(x－x₀).

代入A(0，16)得16－x₀³+3x₀=3(x₀²－1)(0－x₀).

解得x₀=－2，∴M(－2，－2)，切線方程為9x－y+16=0.

評(píng)述：過(guò)已知點(diǎn)求切線，當(dāng)點(diǎn)不在曲線上時(shí)，求切點(diǎn)的坐標(biāo)成了解題的關(guān)鍵.

[例2] (2004年天津，21)已知函數(shù)f(x)=ax³+cx+d(a≠0)是R上的奇函數(shù)，當(dāng)x=1時(shí)，f(x)取得極值－2.

(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極大值；

(2)證明：對(duì)任意x₁、x₂∈(－1，1)，不等式|f(x₁)－f(x₂)|＜4恒成立.

剖析：∵x∈R且f(x)是奇函數(shù)，

∴f(0)=0.

又x=1是極值點(diǎn)，∴(1)=0，由此可得函數(shù)的解析式.

(1)解：由奇函數(shù)定義，

應(yīng)有f(－x)=－f(x)，x∈R，－ax³－cx+d=－ax³－cx－d，∴d=0.

因此f(x)=ax³+cx，(x)=3ax²+c.

由題意知

解得a=1，c=－3.

∴f(x)=x³－3x，(x)=3x³－3=3(x－1)(x+1)，(－1)=(1)=0.

當(dāng)x∈(－∞，－1)時(shí)，(x)＞0，故f(x)在單調(diào)區(qū)間(－∞，－1)上是增函數(shù)，

當(dāng)x∈(－1，1)時(shí)，(x)＜0，故f(x)在單調(diào)區(qū)間(－1，1)上是減函數(shù)，

當(dāng)x∈(1，+∞)時(shí)，(x)＞0，故f(x)在單調(diào)區(qū)間(1，+∞)上是增函數(shù).

∴(－∞，－1)和(1，+∞)為增區(qū)間；

(－1，1)為減區(qū)間，x=－1時(shí)，f(－1)=2為極大值，

x=－1時(shí)，f(1)=－2為極小值.

(2)f(－1)=2，f(1)=－2.

∵f(x)在(－1，1)上是減函數(shù)，

∴對(duì)任意x₁、x₂∈(－1，1)，有－2<f(x₁)<2，－2<f(x₂)<2，

－4<f(x₁)－f(x₂)<4，即|f(x₁)－f(x₂)|<4.

評(píng)述：由奇函數(shù)定義可知當(dāng)x=0時(shí)，則有f(0)=0，即函數(shù)過(guò)原點(diǎn).對(duì)于本題的第(2)問(wèn)，用數(shù)形結(jié)合法較為直觀.

[例3] 設(shè)函數(shù)f(x)=x³+mx²+nx+p在(－∞，0］上是增函數(shù)，在［0，2］上是減函數(shù)，x=2是方程f(x)=0的一個(gè)根.

(1)求n的值；

(2)求證：f(1)≥2.

剖析：由題知x=0是極值點(diǎn)，那么另一個(gè)極值點(diǎn)在哪兒呢?是x=2嗎?不一定.會(huì)在x=2的哪一側(cè)呢?

解：(1)(x)=3x²+2mx+n.

∵f(x)在(－∞，0］上是增函數(shù)，在［0，2］上是減函數(shù)，

∴當(dāng)x=0時(shí)，f(x)取到極大值.

∴(0)=0.∴n=0.

(2)∵f(2)=0，∴p=－4(m+2)，

(x)=3x²+2mx=0的兩個(gè)根分別為x₁=0，x₂=－，

∵函數(shù)f(x)在［0，2］上是減函數(shù)，

∴x₂=－≥2.∴m≤－3.

∴f(1)=m+p+1=m－4(m+2)+1=－7－3m≥2.

評(píng)述：此題學(xué)生往往錯(cuò)誤地認(rèn)為x=2是另一個(gè)極值點(diǎn).再證f(1)≥2時(shí)，首先將f(1)化成關(guān)于m的式子，知道m的范圍，便可證之.

[例4] 對(duì)于函數(shù)y=f(x)(x∈D)若同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件，則稱f(x)為D上的閉函數(shù).

①f(x)在D上為單調(diào)函數(shù)；

②存在閉區(qū)間［a，b］D，使f(x)在［a，b］上的值域也是［a，b］.

(1)求閉函數(shù)y=－x³符合上述條件的區(qū)間［a，b］；

(2)若f(x)=x³－3x²－9x+4，判斷f(x)是否為閉函數(shù).

剖析：這是個(gè)知識(shí)遷移題，這類問(wèn)題一般是考查學(xué)生的類比猜想能力、探索問(wèn)題的能力.

解：(1)∵y=－x³，∴y′=－3x²≤0.

∴函數(shù)y=－x³為減函數(shù).

故即

∴所求閉區(qū)間為［－1，1］.

(2)(x)=3x²－6x－9.

由(x)≥0，得x≥3或x≤－1.

由(x)≤0，得－1≤x≤3.

∴f(x)在定義域內(nèi)不是單調(diào)函數(shù).故f(x)不是閉函數(shù).

評(píng)述：這類問(wèn)題是近年高考命題的一個(gè)亮點(diǎn)，很能考查學(xué)生的分析問(wèn)題、探索問(wèn)題的潛在的能力.

●闖關(guān)訓(xùn)練

夯實(shí)基礎(chǔ)

1.函數(shù)y=x⁴－8x²+2在［－1，3］上的最大值為

A.11　　　　　　 　　　　　　　 B.2　　　　　　　　 C.12　　　　　　 　　　　 D.10

解析：y′=4x³－16x=4x(x²－4).

由y′=0及x∈［－1，3］知x=0或x=2.

根據(jù)單調(diào)性知f(x)_max=f(3)=11.

答案：A

2.函數(shù)f(x)=x³+ax²+bx+c，其中a、b、c為實(shí)數(shù)，當(dāng)a²－3b<0時(shí)，f(x)是

A.增函數(shù)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.減函數(shù)

C.常數(shù)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.既不是增函數(shù)也不是減函數(shù)

解析：(x)=3x²+2ax+b，Δ=4a²－12b<0，

∴(x)>0，f(x)是增函數(shù).

答案：A

3.y=3x－x³的極大值是________，極小值是________.

解析：f(x)在(－∞，－1)和(1，+∞)上遞減，在(－1，1)上遞增，f(－1)=－2為極小值，f(1)=2為極大值.

答案：2　 －2

4.(2005年北京西城區(qū)模擬題)如果函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，給出下列判斷：

①函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(－3，－)內(nèi)單調(diào)遞增；

②函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(－，3)內(nèi)單調(diào)遞減；

③函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(4，5)內(nèi)單調(diào)遞增；

④當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)y=f(x)有極小值；

⑤當(dāng)x=－時(shí)，函數(shù)y=f(x)有極大值.

則上述判斷中正確的是________.

答案：③

5.如圖所示，曲線段OMB是函數(shù)f(x)=x²(0<x<6)的圖象，BA⊥x軸于A，曲線段OMB上一點(diǎn)M(t，f(t))處的切線PQ交x軸于P，交線段AB于Q，

(1)試用t表示切線PQ的方程；

(2)試用t表示△QAP的面積g(t)，若函數(shù)g(t)在［m，n］上單調(diào)遞減，試求出m的最小值.

解：(1)(x)=2x，

∴k=2t，切線PQ的方程為

y－t²=2t(x－t)，即2tx－y－t²=0.

(2)由(1)可求得P(，0)，Q(6，12t－t²)，

∴g(t)=S_△QAP=(6－t)(12t－t²)=t³－6t²+36t(0<t<6)，g′(t)=t²－12t+36.令g′(t)<0，得4<t<12.

考慮到0<t<6，∴4<t<6，即g(t)的單調(diào)減區(qū)間為(4，6).

∴m的最小值為4.

6.直線y=a與函數(shù)f(x)=x³－3x的圖象有三個(gè)互不相同的公共點(diǎn)，求a的取值范圍.

解：先求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間，由(x)=3x²－3=0，得x=±1.當(dāng)x<－1或x>1時(shí)，(x)>0；當(dāng)－1<x<1時(shí)，(x)<0.

∴在(－∞，－1)和(1，+∞)上，f(x)=x³－3x是增函數(shù)；

在(－1，1)上，f(x)=x³－3x是減函數(shù)，由此可以作出f(x)=x³－3x的草圖(如圖).

由圖可知，當(dāng)且僅當(dāng)－2<a<2時(shí)，直線y=a與函數(shù)f(x)=x³－3x的圖象有三個(gè)互不相同的公共點(diǎn).

培養(yǎng)能力

7.已知函數(shù)f(x)=4x³+ax²+bx+5的圖象在x=1處的切線方程為y=－12x.

(1)求函數(shù)f(x)的解析式；

(2)求函數(shù)f(x)在［－3，1］上的最值.

解：(1)(x)=12x²+2ax+b，(1)=12+2a+b=－12.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①

又x=1，y=－12在f(x)的圖象上，

∴4+a+b+5=－12.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ②

由①②得a=－3，b=－18，

∴f(x)=4x³－3x²－18x+5.

(2)(x)=12x²－6x－18=0，得x=－1， ，f(－1)=16，f()=－，f(－3)=－76，f(1)=－13.

∴f(x)的最大值為16，最小值為－76.

8.已知實(shí)數(shù)a>0，函數(shù)f(x)=ax(x－2)²(x∈R)有極大值32.

(1)求實(shí)數(shù)a的值；

(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.

解：(1)∵f(x)=ax(x－2)²=ax³－4ax²+4ax，

∴(x)=3ax²－8ax+4a.

由(x)=0，得3ax²－8ax+4a=0.

∵a≠0，∴3x²－8x+4=0.

解得x=2或x=.

∵a>0，∴x<或x>2時(shí)，(x)>0；

<x<2時(shí)，(x)<0.

∴當(dāng)x=時(shí)，f(x)有極大值32，即

a－a+a=32，∴a=27.

(2)f(x)在(－∞，)和(2，+∞)上是增函數(shù)，在(，2)上是減函數(shù).

9.已知f(x)=ax⁵－bx³+c(a>0)在x=±1處有極值，且極大值為4，極小值為0，試確定a、b、c的值.

解：已知f(x)=ax⁵－bx³+c，

所以(x)=5ax⁴－3bx²=x²(5ax²－3b).

根據(jù)題意(x)=0應(yīng)有根x=±1，

故5a=3b.

所以(x)=5ax²(x²－1).

因a>0時(shí)，列表：

x	(－∞，－1)	－1	(－1，1)	1	(1，+∞)
(x)	+	0	－	0	+
f(x)		極大值		極小值

① ②

由上表可見　

①+②得c=2，

①－②得b=a+2.

又5a=3b，所以a=3，b=5，c=2.

探究創(chuàng)新

10.有點(diǎn)難度喲！

用總長(zhǎng)14.8 m的鋼條作一個(gè)長(zhǎng)方體容器的框架，如果所制作容器的底面的一邊比另一邊長(zhǎng)0.5 m，那么高為多少時(shí)容器的容積最大?并求出它的最大容積.

解：設(shè)容器底面短邊長(zhǎng)為x m，則另一邊長(zhǎng)為(x+0.5) m，高為

=3.2－2x(m).

由3.2－2x>0和x>0得0<x<1.6.

設(shè)容器的容積為y m³，

則有y=x(x+0.5)(3.2－2x)(0<x<1.6)，

整理，得y=－2x³+2.2x²+1.6x.

∴y′=－6x²+4.4x+1.6.

令y′=0，有－6x²+4.4x+1.6=0，即15x²－11x－4=0.

解得x₁=1或x₂=－(不合題意，舍去).

從而在定義域(0，1.6)內(nèi)只有在x=1處使得y′=0.

因此，當(dāng)x=1時(shí)，y取得最大值且y_max=－2+2.2+1.6=1.8，這時(shí)，高為3.2－2×1=1.2.

●思悟小結(jié)

1.(x₀)=0是x₀為可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)的必要不充分條件，如函數(shù)y=x³在x=0處.

2.函數(shù)f(x)在極值點(diǎn)不一定可導(dǎo)，如函數(shù)y=|x|在x=0處.

3.注意極值與最值的關(guān)系，理解若只有一個(gè)極值則必為最值.

4.體會(huì)數(shù)形結(jié)合、函數(shù)、方程思想在本章的運(yùn)用.

●教師下載中心

教學(xué)點(diǎn)睛

1.導(dǎo)數(shù)的基本應(yīng)用如下表：

2.應(yīng)用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題，關(guān)鍵是要建立恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型(函數(shù)關(guān)系)，如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)點(diǎn)使(x)=0，此時(shí)函數(shù)在這點(diǎn)有極大(小)值，那么不與端點(diǎn)比較，也可以知道這就是最大(小)值.

拓展題例

[例1] 函數(shù)y=2x³+3x²－12x+14在［－3，4］上的最大值為________，最小值為________.

解析：y′=6x²+6x－12=0.

x=1，－2，f(－3)=20，f(－2)=34，f(1)=7，f(4)=142.

答案：142　 7

[例2] 設(shè)x=－2與x=4是函數(shù)f(x)=x³+ax²+bx的兩個(gè)極值點(diǎn).

(1)求常數(shù)a、b；

(2)判斷x=－2，x=4是函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn)，并說(shuō)明理由.

解：(1)(x)=3x²+2ax+b.

由極值點(diǎn)的必要條件可知x=－2和x=4是方程(x)=0的兩根，則a=－3，b=－24.

(2)(x)=3(x+2)(x－4)，得

當(dāng)x<－2時(shí)，(x)>0；

當(dāng)－2<x<4時(shí)，(x)<0.

∴x=－2是f(x)的極大值點(diǎn).

當(dāng)x>4時(shí)，(x)>0，則x=4是f(x)的極小值點(diǎn).