5.設(shè)函數(shù)f(x)=x3--2x+5.若對(duì)任意x∈[-1,2],都有f(x)>m,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________.
解析:(x)=3x2-x-2=0,x=1,-,
f(-1)=5,f(-)=5,f(1)=3,f(2)=7.
∴m<3.
答案:m∈(-∞,)
●典例剖析
[例1] (2004年天津,20)已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2-3x在x=±1處取得極值.
(1)討論f(1)和f(-1)是函數(shù)f(x)的極大值還是極小值;
(2)過(guò)點(diǎn)A(0,16)作曲線y=f(x)的切線,求此切線方程.
剖析:(1)分析x=±1處的極值情況,關(guān)鍵是分析x=±1左右(x)的符號(hào).
(2)要分清點(diǎn)A(0,16)是否在曲線上.
解:(1)(x)=3ax2+2bx-3,依題意,(1)=(-1)=0,即
解得a=1,b=0.
∴f(x)=x3-3x,(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1).
令(x)=0,得x=-1,x=1.
若x∈(-∞,-1)∪(1,+∞),則(x)>0,
故f(x)在(-∞,-1)上是增函數(shù),f(x)在(1,+∞)上是增函數(shù).
若x∈(-1,1),則(x)<0,故f(x)在(-1,1)上是減函數(shù).
所以f(-1)=2是極大值,f(1)=-2是極小值.
(2)曲線y=x3-3x,點(diǎn)A(0,16)不在曲線上,設(shè)切點(diǎn)M(x0,y0),則y0=x03-3x.
∵(x0)=3x02-3,
∴切線方程為y-y0=3(x02-1)(x-x0).
代入A(0,16)得16-x03+3x0=3(x02-1)(0-x0).
解得x0=-2,∴M(-2,-2),切線方程為9x-y+16=0.
評(píng)述:過(guò)已知點(diǎn)求切線,當(dāng)點(diǎn)不在曲線上時(shí),求切點(diǎn)的坐標(biāo)成了解題的關(guān)鍵.
[例2] (2004年天津,21)已知函數(shù)f(x)=ax3+cx+d(a≠0)是R上的奇函數(shù),當(dāng)x=1時(shí),f(x)取得極值-2.
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極大值;
(2)證明:對(duì)任意x1、x2∈(-1,1),不等式|f(x1)-f(x2)|<4恒成立.
剖析:∵x∈R且f(x)是奇函數(shù),
∴f(0)=0.
又x=1是極值點(diǎn),∴(1)=0,由此可得函數(shù)的解析式.
(1)解:由奇函數(shù)定義,
應(yīng)有f(-x)=-f(x),x∈R,-ax3-cx+d=-ax3-cx-d,∴d=0.
因此f(x)=ax3+cx,(x)=3ax2+c.
由題意知
解得a=1,c=-3.
∴f(x)=x3-3x,(x)=3x3-3=3(x-1)(x+1),(-1)=(1)=0.
當(dāng)x∈(-∞,-1)時(shí),(x)>0,故f(x)在單調(diào)區(qū)間(-∞,-1)上是增函數(shù),
當(dāng)x∈(-1,1)時(shí),(x)<0,故f(x)在單調(diào)區(qū)間(-1,1)上是減函數(shù),
當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),(x)>0,故f(x)在單調(diào)區(qū)間(1,+∞)上是增函數(shù).
∴(-∞,-1)和(1,+∞)為增區(qū)間;
(-1,1)為減區(qū)間,x=-1時(shí),f(-1)=2為極大值,
x=-1時(shí),f(1)=-2為極小值.
(2)f(-1)=2,f(1)=-2.
∵f(x)在(-1,1)上是減函數(shù),
∴對(duì)任意x1、x2∈(-1,1),有-2<f(x1)<2,-2<f(x2)<2,
-4<f(x1)-f(x2)<4,即|f(x1)-f(x2)|<4.
評(píng)述:由奇函數(shù)定義可知當(dāng)x=0時(shí),則有f(0)=0,即函數(shù)過(guò)原點(diǎn).對(duì)于本題的第(2)問(wèn),用數(shù)形結(jié)合法較為直觀.
[例3] 設(shè)函數(shù)f(x)=x3+mx2+nx+p在(-∞,0]上是增函數(shù),在[0,2]上是減函數(shù),x=2是方程f(x)=0的一個(gè)根.
(1)求n的值;
(2)求證:f(1)≥2.
剖析:由題知x=0是極值點(diǎn),那么另一個(gè)極值點(diǎn)在哪兒呢?是x=2嗎?不一定.會(huì)在x=2的哪一側(cè)呢?
解:(1)(x)=3x2+2mx+n.
∵f(x)在(-∞,0]上是增函數(shù),在[0,2]上是減函數(shù),
∴當(dāng)x=0時(shí),f(x)取到極大值.
∴(0)=0.∴n=0.
(2)∵f(2)=0,∴p=-4(m+2),
(x)=3x2+2mx=0的兩個(gè)根分別為x1=0,x2=-,
∵函數(shù)f(x)在[0,2]上是減函數(shù),
∴x2=-≥2.∴m≤-3.
∴f(1)=m+p+1=m-4(m+2)+1=-7-3m≥2.
評(píng)述:此題學(xué)生往往錯(cuò)誤地認(rèn)為x=2是另一個(gè)極值點(diǎn).再證f(1)≥2時(shí),首先將f(1)化成關(guān)于m的式子,知道m(xù)的范圍,便可證之.
[例4] 對(duì)于函數(shù)y=f(x)(x∈D)若同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件,則稱f(x)為D上的閉函數(shù).
①f(x)在D上為單調(diào)函數(shù);
②存在閉區(qū)間[a,b]D,使f(x)在[a,b]上的值域也是[a,b].
(1)求閉函數(shù)y=-x3符合上述條件的區(qū)間[a,b];
(2)若f(x)=x3-3x2-9x+4,判斷f(x)是否為閉函數(shù).
剖析:這是個(gè)知識(shí)遷移題,這類問(wèn)題一般是考查學(xué)生的類比猜想能力、探索問(wèn)題的能力.
解:(1)∵y=-x3,∴y′=-3x2≤0.
∴函數(shù)y=-x3為減函數(shù).
故即
∴所求閉區(qū)間為[-1,1].
(2)(x)=3x2-6x-9.
由(x)≥0,得x≥3或x≤-1.
由(x)≤0,得-1≤x≤3.
∴f(x)在定義域內(nèi)不是單調(diào)函數(shù).故f(x)不是閉函數(shù).
評(píng)述:這類問(wèn)題是近年高考命題的一個(gè)亮點(diǎn),很能考查學(xué)生的分析問(wèn)題、探索問(wèn)題的潛在的能力.
●闖關(guān)訓(xùn)練
夯實(shí)基礎(chǔ)