導(dǎo)數(shù)是微積分的初步知識，是研究函數(shù)，解決實(shí)際問題的有力工具。在高中階段對于導(dǎo)數(shù)的學(xué)習(xí)，主要是以下幾個方面:
1．導(dǎo)數(shù)的常規(guī)問題：
(1)刻畫函數(shù)(比初等方法精確細(xì)微)；(2)同幾何中切線聯(lián)系(導(dǎo)數(shù)方法可用于研究平面曲線的切線)；(3)應(yīng)用問題(初等方法往往技巧性要求較高，而導(dǎo)數(shù)方法顯得簡便)等關(guān)于
次多項(xiàng)式的導(dǎo)數(shù)問題屬于較難類型。
2．關(guān)于函數(shù)特征，最值問題較多，所以有必要專項(xiàng)討論，導(dǎo)數(shù)法求最值要比初等方法快捷簡便。
3．導(dǎo)數(shù)與解析幾何或函數(shù)圖象的混合問題是一種重要類型，也是高考中考察綜合能力的一個方向，應(yīng)引起注意。
1．導(dǎo)數(shù)概念的理解．
2．利用導(dǎo)數(shù)判別可導(dǎo)函數(shù)的極值的方法及求一些實(shí)際問題的最大值與最小值．
復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則是微積分中的重點(diǎn)與難點(diǎn)內(nèi)容。課本中先通過實(shí)例，引出復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，接下來對法則進(jìn)行了證明。
3．要能正確求導(dǎo)，必須做到以下兩點(diǎn)：
(1)熟練掌握各基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式以及和、差、積、商的求導(dǎo)法則，復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則。
(2)對于一個復(fù)合函數(shù)，一定要理清中間的復(fù)合關(guān)系，弄清各分解函數(shù)中應(yīng)對哪個變量求導(dǎo)。
4．求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，一般按以下三個步驟進(jìn)行：
(1)適當(dāng)選定中間變量，正確分解復(fù)合關(guān)系；(2)分步求導(dǎo)(弄清每一步求導(dǎo)是哪個變量對哪個變量求導(dǎo))；(3)把中間變量代回原自變量(一般是x)的函數(shù)。
也就是說，首先，選定中間變量，分解復(fù)合關(guān)系，說明函數(shù)關(guān)系y=f(μ)，μ=f(x)；然后將已知函數(shù)對中間變量求導(dǎo)
，中間變量對自變量求導(dǎo)
；最后求
，并將中間變量代回為自變量的函數(shù)。整個過程可簡記為分解--求導(dǎo)--回代。熟練以后，可以省略中間過程。若遇多重復(fù)合，可以相應(yīng)地多次用中間變量。
例1．
在
處可導(dǎo)，則
思路： 在處可導(dǎo)，必連續(xù)
∴ 
∴ 
例2．已知f(x)在x=a處可導(dǎo)，且f′(a)=b，求下列極限：
(1)
； (2)
分析：在導(dǎo)數(shù)定義中，增量△x的形式是多種多樣，但不論△x選擇哪種形式，△y也必須選擇相對應(yīng)的形式。利用函數(shù)f(x)在
處可導(dǎo)的條件，可以將已給定的極限式恒等變形轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)定義的結(jié)構(gòu)形式。
解：(1)
(2)
說明：只有深刻理解概念的本質(zhì)，才能靈活應(yīng)用概念解題。解決這類問題的關(guān)鍵是等價變形，使極限式轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)定義的結(jié)構(gòu)形式。
例3．觀察
，
，
，是否可判斷，可導(dǎo)的奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是偶函數(shù)，可導(dǎo)的偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)。
解：若
為偶函數(shù)
令
∴ 可導(dǎo)的偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)
另證：
∴ 可導(dǎo)的偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)
例4．(1)求曲線
在點(diǎn)(1，1)處的切線方程；
(2)運(yùn)動曲線方程為
，求t=3時的速度。
分析：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義及導(dǎo)數(shù)的物理意義可知，函數(shù)y=f(x)在
處的導(dǎo)數(shù)就是曲線y=f(x)在點(diǎn)
處的切線的斜率。瞬時速度是位移函數(shù)S(t)對時間的導(dǎo)數(shù)。
解：(1)
，
，即曲線在點(diǎn)(1，1)處的切線斜率k=0
因此曲線在(1，1)處的切線方程為y=1
(2)
。
例5． 求下列函數(shù)單調(diào)區(qū)間
(1)
(2)
(3)
(4)
解：(1)
時
∴ 
，
(2)
∴ 
，
(3)
∴ 
∴ 
，
，
(4)
定義域?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/383814_1/image061.gif">
例6．求證下列不等式
(1)
(2)
(3)
證：(1)
∴ 
為上 ∴ 
恒成立
∴ 
∴ 
在上 ∴
恒成立
(2)原式
令 
∴ 
∴
∴
(3)令
∴ 
∴ 
例7．利用導(dǎo)數(shù)求和：
(1)
；
(2)
。
分析：這兩個問題可分別通過錯位相減法及利用二項(xiàng)式定理來解決。轉(zhuǎn)換思維角度，由求導(dǎo)公式
，可聯(lián)想到它們是另外一個和式的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)運(yùn)算可使問題的解決更加簡捷。
解：(1)當(dāng)x=1時，
；
當(dāng)x≠1時，
∵
，
兩邊都是關(guān)于x的函數(shù)，求導(dǎo)得
即
(2)∵
，
兩邊都是關(guān)于x的函數(shù)，求導(dǎo)得
。
令x=1得
，
即
。
例8．設(shè)
，求函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間.
分析：本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的概念和計算，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法及推理和運(yùn)算能力.
解：
.
當(dāng)
時 
.
(i)當(dāng)
時，對所有
，有
.
即，此時在
內(nèi)單調(diào)遞增.
(ii)當(dāng)
時，對
，有
，
即，此時在(0，1)內(nèi)單調(diào)遞增，又知函數(shù)在x=1處連續(xù)，因此，
函數(shù)在(0，+
)內(nèi)單調(diào)遞增
(iii)當(dāng)
時，令，即.
解得
.
因此，函數(shù)在區(qū)間
內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間
內(nèi)也單調(diào)遞增.
令
，解得
.
因此，函數(shù)在區(qū)間
內(nèi)單調(diào)遞減.
例9．已知拋物線
與直線y=x+2相交于A、B兩點(diǎn)，過A、B兩點(diǎn)的切線分別為
和
。
(1)求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)； (2)求直線與的夾角。
分析：理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義是解決本例的關(guān)鍵。
解 (1)由方程組
解得 A(-2，0)，B(3，5)
(2)由y′=2x，則
，
。設(shè)兩直線的夾角為θ，根據(jù)兩直線的夾角公式，
所以
說明：本例中直線與拋物線的交點(diǎn)處的切線，就是該點(diǎn)處拋物線的切線。注意兩條直線的夾角公式有絕對值符號。
例10．(2001年天津卷)設(shè)，
是
上的偶函數(shù)。
(I)求
的值； (II)證明在上是增函數(shù)。
解：(I)依題意，對一切
有，即
，
∴
對一切成立，
由此得到
，
，
又∵，∴。
(II)證明：由
，得
，
當(dāng)
時，有
，此時?！?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/383814_1/image027.gif">在上是增函數(shù)。
1．(全國卷10)函數(shù)y=xcosx-sinx在下面哪個區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)( )
A (
)
B (π,2π) C (
)
D (2π,3π)
2．(全國卷22)(本小題滿分14分)已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx,
(i)求函數(shù)f(x)的最大值；(ii)設(shè)0<a<b,證明0<g(a)+g(b)-2g(
)<(b-a)ln2.
3.(天津卷9)函數(shù)
)為增函數(shù)的區(qū)間是
(A)
(B)
(C)
(D)
4.(天津卷20)(本小題滿分12分)
已知函數(shù)
在
處取得極值。
(I)討論
和
是函數(shù)的極大值還是極小值；
(II)過點(diǎn)
作曲線的切線，求此切線方程。
(江蘇卷10)函數(shù)
在閉區(qū)間[-3，0]上的最大值、最小值分別是 ( )
(A)1，-1 (B)1，-17 (C)3，-17 (D)9，-19
(浙江卷11)設(shè)f '(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，y=f '(x)的圖象
如右圖所示，則y=f(x)的圖象最有可能的是
(A) (B) (C) (D)
(浙江卷20)設(shè)曲線y=e-x(x≥0)在點(diǎn)M(t,e-t}處的切線l與x軸、y軸圍成的三角形面積為S(t). (1)求切線l的方程；(2)求S(t)的最大值。