直線與平面垂直

1. 直線與平面垂直的判定

(1)判定

(2)定義

2. 直線與平面垂直的性質(zhì)

(1)

(2)

(3)*

(4)*

(5)*

[典型例題]

[例1] 已知，，求證：。

證明：

過作平面　　 　　∴ 　

∴ 　　∴

[例2] 已知，，，求證：。

證明：

假設(shè)，過A作AD∥　　 ∵ 　　∴ AD⊥

確定平面　　

與已知矛盾　　 ∴ 假設(shè)不成立　 ∴

[例3] ，，，求證：。

證明：

　 過A作AB∥a交于B　　 ∵ 　　∴

　 確定平面　

[例4] 以AB為直徑的圓在平面內(nèi)，于A，C在圓上，連PB、PC過A作AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，試判斷圖中還有幾組線面垂直。

解：

面AEF

[例5] 四面體P-ABC中，PA、PB、PC兩兩垂直，試判斷的形狀。

解：

，，

　　　　　

為銳角，同理內(nèi)角均為銳角

[例6] 求證，兩條異面直線的公垂線有且只有一個(gè)。

證明：存在性

過作平面，使，，E為上一點(diǎn)，過E作EF⊥于F

BE∩EF=E確定平面

過A作AB∥EF交于B　 ∴ AB為公垂線

唯一性，假設(shè)存在CD為異面直線、公垂線

∴ A、B、C、D共面、共面與已知矛盾

∴ 假設(shè)不成立　 ∴ 公垂線有且僅有一條

[例7] 求證四個(gè)角是直角的四邊形為矩形。

證明：四邊形ABCD四個(gè)角均為

(1)AB、CD共面，顯然成立

(2)假設(shè)AB、CD為異面直線

∴ AD、BC為AB、CD的公垂線

與兩條異面直線的公垂線有且僅有一條矛盾

假設(shè)不成立　　 ∴ ABCD四點(diǎn)共面　　 ∴ ABCD為矩形

[模擬試題]

1. 下面結(jié)論有(　　 )個(gè)正確的。

① 過定點(diǎn)一點(diǎn)作與已知直線平行的平面有且僅有一個(gè)

② 過定點(diǎn)一點(diǎn)作與已知直線垂直的平面有且僅有一個(gè)

③ 過定點(diǎn)一點(diǎn)作與已知平面平行的直線有且僅有一條

④ 過定點(diǎn)一點(diǎn)作與已知平面垂直的直線有且僅有一條

A. 1　　 B. 2　　 C. 3　　 D. 4

2. 已知直線、、，平面、，下列結(jié)論正確的是(　　 )

A. 　　　　　　　　 B.

C. 　　　　　 D.

3. 是否存在四個(gè)面均為的四面體？

4. 四面體P-ABC中PA⊥BC，PB⊥AC，求證：PC⊥AB