2. 直線與平面垂直的性質(zhì)
(1)
(2)
(3)*
(4)*
(5)*
[典型例題]
[例1] 已知,,求證:。
證明:
過(guò)作平面 ∴
∴ ∴
[例2] 已知,,,求證:。
證明:
假設(shè),過(guò)A作AD∥
∵ ∴ AD⊥
確定平面
與已知矛盾 ∴ 假設(shè)不成立 ∴
[例3] ,,,求證:。
證明:
過(guò)A作AB∥a交于B ∵ ∴
確定平面
[例4] 以AB為直徑的圓在平面內(nèi),于A,C在圓上,連PB、PC過(guò)A作AE⊥PB于E,AF⊥PC于F,試判斷圖中還有幾組線面垂直。
解:
面AEF
[例5] 四面體P-ABC中,PA、PB、PC兩兩垂直,試判斷的形狀。
解:
,,
為銳角,同理內(nèi)角均為銳角
[例6] 求證,兩條異面直線的公垂線有且只有一個(gè)。
證明:存在性
過(guò)作平面,使,,E為上一點(diǎn),過(guò)E作EF⊥于F
BE∩EF=E確定平面
過(guò)A作AB∥EF交于B ∴ AB為公垂線
唯一性,假設(shè)存在CD為異面直線、公垂線
∴ A、B、C、D共面、共面與已知矛盾
∴ 假設(shè)不成立 ∴ 公垂線有且僅有一條
[例7] 求證四個(gè)角是直角的四邊形為矩形。
證明:四邊形ABCD四個(gè)角均為
(1)AB、CD共面,顯然成立
(2)假設(shè)AB、CD為異面直線
∴ AD、BC為AB、CD的公垂線
與兩條異面直線的公垂線有且僅有一條矛盾
假設(shè)不成立 ∴ ABCD四點(diǎn)共面 ∴ ABCD為矩形
[模擬試題]