1. 給出直線的方向向量或，等于已知直線的斜率或；

2. 給出與相交,等于已知過的中點;

3. 給出,等于已知是的中點;

4. 給出,等于已知與的中點三點共線;

5. 給出以下情形之一

①,

②存在實數(shù)

③若存在實數(shù),等于已知三點共線.

6. 給出，等于已知是的定比分點，為定比，即

7. 給出,等于已知,即是直角,給出,等于已知是鈍角, 給出,等于已知是銳角,

8. 給出,等于已知是的平分線/

9. 在平行四邊形中，給出，等于已知是菱形;

10. 在平行四邊形中，給出，等于已知是矩形;

11. 在中，給出，等于已知是的外心；

12. 在中，給出，等于已知是的重心；

13. 在中，給出，等于已知是的垂心；

14. 在中，給出等于已知通過的內心；

15. 在中，給出等于已知是的內心；

16. 在中，給出,等于已知是中邊的中線;

17. 給出,等于已知的面積

[例1](2005年.遼寧卷21)

已知橢圓的左、右焦點分別是F₁(－c，0)、F₂(c，0)，Q是橢圓外的動點，滿足點P是線段F₁Q與該橢圓的交點，點T在線段F₂Q上，并且滿足

　 (Ⅰ)設為點P的橫坐標，證明；

　 (Ⅱ)求點T的軌跡C的方程；

　 (Ⅲ)試問：在點T的軌跡C上，是否存在點M使△F₁MF₂的面積S=若存在，求∠F₁MF₂ 的正切值；若不存在，請說明理由.

　解 ： (Ⅰ)證法一：設點P的坐標為

由P在橢圓上，得

由，所以

證法二：設點P的坐標為記

則

由

證法三：設點P的坐標為橢圓的左準線方程為

　　　 由橢圓第二定義得，即

　　　 由，所以

(Ⅱ)解法一：設點T的坐標為　

　　　　　 當時，點(，0)和點(－，0)在軌跡上.

當|時，由，得.

又，所以T為線段F₂Q的中點.

在△QF₁F₂中，，所以有

綜上所述，點T的軌跡C的方程是　

解法二：設點T的坐標為　

當時，點(，0)和點(－，0)在軌跡上.

　　　 當|時，由，得.

　　　 又，所以T為線段F₂Q的中點.

　　　 設點Q的坐標為()，

則

　　　 因此　　　　　　　　　　　　　 ①

　　　 由得　　　　 ②

　　　 將①代入②，可得

　　　 綜上所述，點T的軌跡C的方程是　

③ ④

　 (Ⅲ)解法一：C上存在點M()使S=的充要條件是

　　　　

　　　 由③得，由④得　 所以，當時，存在點M，使S=；

　　　 當時，不存在滿足條件的點M.

　　　 當時，，

　　　 由，

　　　 ，

　　　 ，得

解法二：C上存在點M()使S=的充要條件是

③ ④

　　　　

　　　 由④得　 上式代入③得

　　　 于是，當時，存在點M，使S=；

　　　 當時，不存在滿足條件的點M.

　　　 當時，記，

　　　 由知，則

　

[例2](2005年.重慶卷.理21)

　　　 已知橢圓C₁的方程為，雙曲線C₂的左、右焦點分別為C₁的左、右頂點，而C₂的左、右頂點分別是C₁的左、右焦點.

　 (Ⅰ)求雙曲線C₂的方程；

(Ⅱ)若直線與橢圓C₁及雙曲線C₂都恒有兩個不同的交點，且l與C₂的兩個交點A和B滿足(其中O為原點)，求k的取值范圍.

解：(Ⅰ)設雙曲線C₂的方程為，則

故C₂的方程為

(Ⅱ)將代入得

由直線l與橢圓C₁恒有兩個不同的交點得

即　 　　　　　?、?/p>

.

由直線l與雙曲線C₂恒有兩個不同的交點A，B得

　　　　　　

解此不等式得

　　　　　　　　　　　 　?、?/p>

由①、②、③得

故k的取值范圍為

[例3](2005年.全國卷Ⅰ.理21文22)

　　　 已知橢圓的中心為坐標原點O，焦點在軸上，斜率為1且過橢圓右焦點F的直線交橢圓于A、B兩點，與共線.

　 (I)求橢圓的離心率；

　 (II)設M為橢圓上任意一點，且，證明為定值.

　 解：(I)設橢圓方程為

　　　 則直線AB的方程為

　　　 化簡得.

　　　 令

　　　 則

　　　 共線，得

(II)證明：由(I)知，所以橢圓可化為.

　　　 在橢圓上，

　　　

　　　 即　 ?、?/p>

　　　 由(I)知

　　　

又又，代入①得　

故為定值，定值為1.