[例1](2005年.遼寧卷21)
已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是F1(-c,0)、F2(c,0),Q是橢圓外的動(dòng)點(diǎn),滿足點(diǎn)P是線段F1Q與該橢圓的交點(diǎn),點(diǎn)T在線段F2Q上,并且滿足
(Ⅰ)設(shè)為點(diǎn)P的橫坐標(biāo),證明;
(Ⅱ)求點(diǎn)T的軌跡C的方程;
(Ⅲ)試問:在點(diǎn)T的軌跡C上,是否存在點(diǎn)M使△F1MF2的面積S=若存在,求∠F1MF2 的正切值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
解
: (Ⅰ)證法一:設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為
由P在橢圓上,得
由,所以
證法二:設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為記
則
由
證法三:設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為橢圓的左準(zhǔn)線方程為
由橢圓第二定義得,即
由,所以
(Ⅱ)解法一:設(shè)點(diǎn)T的坐標(biāo)為
當(dāng)時(shí),點(diǎn)(,0)和點(diǎn)(-,0)在軌跡上.
當(dāng)|時(shí),由,得.
又,所以T為線段F2Q的中點(diǎn).
在△QF1F2中,,所以有
綜上所述,點(diǎn)T的軌跡C的方程是
解法二:設(shè)點(diǎn)T的坐標(biāo)為
當(dāng)時(shí),點(diǎn)(,0)和點(diǎn)(-,0)在軌跡上.
當(dāng)|時(shí),由,得.
又,所以T為線段F2Q的中點(diǎn).
設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(),
則
因此
①
由得
②
將①代入②,可得
綜上所述,點(diǎn)T的軌跡C的方程是
③
④
(Ⅲ)解法一:C上存在點(diǎn)M()使S=的充要條件是
由③得,由④得
所以,當(dāng)時(shí),存在點(diǎn)M,使S=;
當(dāng)時(shí),不存在滿足條件的點(diǎn)M.
當(dāng)時(shí),,
由,
,
,得
解法二:C上存在點(diǎn)M()使S=的充要條件是
③
④
由④得
上式代入③得
于是,當(dāng)時(shí),存在點(diǎn)M,使S=;
當(dāng)時(shí),不存在滿足條件的點(diǎn)M.
當(dāng)時(shí),記,
由知,則
[例2](2005年.重慶卷.理21)
已知橢圓C1的方程為,雙曲線C2的左、右焦點(diǎn)分別為C1的左、右頂點(diǎn),而C2的左、右頂點(diǎn)分別是C1的左、右焦點(diǎn).
(Ⅰ)求雙曲線C2的方程;
(Ⅱ)若直線與橢圓C1及雙曲線C2都恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn),且l與C2的兩個(gè)交點(diǎn)A和B滿足(其中O為原點(diǎn)),求k的取值范圍.
解:(Ⅰ)設(shè)雙曲線C2的方程為,則
故C2的方程為
(Ⅱ)將代入得
由直線l與橢圓C1恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)得
即 ?、?
.
由直線l與雙曲線C2恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A,B得
解此不等式得
③
由①、②、③得
故k的取值范圍為
[例3](2005年.全國(guó)卷Ⅰ.理21文22)
已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在軸上,斜率為1且過橢圓右焦點(diǎn)F的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn),與共線.
(I)求橢圓的離心率;
(II)設(shè)M為橢圓上任意一點(diǎn),且,證明為定值.
解:(I)設(shè)橢圓方程為
則直線AB的方程為
化簡(jiǎn)得.
令
則
共線,得
(II)證明:由(I)知,所以橢圓可化為.
在橢圓上,
即 ?、?
由(I)知
又又,代入①得
故為定值,定值為1.