[例1](2005年.遼寧卷21)
已知橢圓的左、右焦點分別是F1(－c，0)、F2(c，0)，Q是橢圓外的動點，滿足點P是線段F1Q與該橢圓的交點，點T在線段F2Q上，并且滿足
(Ⅰ)設(shè)為點P的橫坐標，證明；
(Ⅱ)求點T的軌跡C的方程；
(Ⅲ)試問：在點T的軌跡C上，是否存在點M使△F1MF2的面積S=若存在，求∠F1MF2 的正切值；若不存在，請說明理由.
解
： (Ⅰ)證法一：設(shè)點P的坐標為
由P在橢圓上，得
由，所以
證法二：設(shè)點P的坐標為記
則
由
證法三：設(shè)點P的坐標為橢圓的左準線方程為
由橢圓第二定義得，即
由，所以
(Ⅱ)解法一：設(shè)點T的坐標為
當時，點(，0)和點(－，0)在軌跡上.
當|時，由，得.
又，所以T為線段F2Q的中點.
在△QF1F2中，，所以有
綜上所述，點T的軌跡C的方程是
解法二：設(shè)點T的坐標為
當時，點(，0)和點(－，0)在軌跡上.
當|時，由，得.
又，所以T為線段F2Q的中點.
設(shè)點Q的坐標為()，
則
因此
①
由得
②
將①代入②，可得
綜上所述，點T的軌跡C的方程是
③
④
(Ⅲ)解法一：C上存在點M()使S=的充要條件是
由③得，由④得
所以，當時，存在點M，使S=；
當時，不存在滿足條件的點M.
當時，，
由，
，
，得
解法二：C上存在點M()使S=的充要條件是
③
④
由④得
上式代入③得
于是，當時，存在點M，使S=；
當時，不存在滿足條件的點M.
當時，記，
由知，則
[例2](2005年.重慶卷.理21)
已知橢圓C1的方程為，雙曲線C2的左、右焦點分別為C1的左、右頂點，而C2的左、右頂點分別是C1的左、右焦點.
(Ⅰ)求雙曲線C2的方程；
(Ⅱ)若直線與橢圓C1及雙曲線C2都恒有兩個不同的交點，且l與C2的兩個交點A和B滿足(其中O為原點)，求k的取值范圍.
解：(Ⅰ)設(shè)雙曲線C2的方程為，則
故C2的方程為
(Ⅱ)將代入得
由直線l與橢圓C1恒有兩個不同的交點得
即 ?、?
.
由直線l與雙曲線C2恒有兩個不同的交點A，B得
解此不等式得
?、?
由①、②、③得
故k的取值范圍為
[例3](2005年.全國卷Ⅰ.理21文22)
已知橢圓的中心為坐標原點O，焦點在軸上，斜率為1且過橢圓右焦點F的直線交橢圓于A、B兩點，與共線.
(I)求橢圓的離心率；
(II)設(shè)M為橢圓上任意一點，且，證明為定值.
解：(I)設(shè)橢圓方程為
則直線AB的方程為
化簡得.
令
則
共線，得
(II)證明：由(I)知，所以橢圓可化為.
在橢圓上，
即 ?、?
由(I)知
又又，代入①得
故為定值，定值為1.
中，給出
，等于已知
是