1．人教A版選修2-2第79頁例1：已知數(shù)列
的第1項
，且
，試歸納出這個數(shù)列的通項公式．
變式1：已知數(shù)列的第1項，且
，試歸納出這個數(shù)列的通項公式．
解：
，
，…，一般地有
；
本題也可以直接求出通項公式．
由得，
，即
，
所以數(shù)列
是首項為
，公差為2的等差數(shù)列，則
，
而，則．
理科學生還可以先歸納，提出猜想，然后用數(shù)學歸納法證明．
變式2：已知數(shù)列的第1項，且
，試歸納出這個數(shù)列的通項公式．
解：
，
，…，一般地有
；
本題也可以直接求出通項公式．
由得，
，即
，
所以數(shù)列是首項為，公差為
的等差數(shù)列，則
，
而，則．
由變式(1)、變式(2)你能總結出什么規(guī)律？
對滿足
型的數(shù)列，當
時采取取倒數(shù)的方法即可得出數(shù)列是等差數(shù)列，再根據(jù)等差數(shù)列的通項公式即可求出數(shù)列的通項．
變式3：(2005年高考湖南卷)已知數(shù)列的第1項
，且
，則
A．0
B．
C．
D．
解法1：由于，，則
，
，
，由此歸納出數(shù)列是以3為周期的數(shù)列，則
，選B．
解法2：，令
，則
，
則
，即
，
，
而
，則
，
；
變式4：(2007年廣州市高考二模)已知數(shù)列滿足
，
(
)，則
的值為
， 
的值為
．
[思路1]分別求出
、
、
、
，可以發(fā)現(xiàn)
，且
，故
．
[思路2]由，聯(lián)想到兩角和的正切公式，設
，則有
，
，
，
，……．
則，故．
從以上變式3到變式5，你能受到什么啟發(fā)呢？結構與兩角和或差正切公式相似，這樣的數(shù)列一定是周期數(shù)列．
2．人教A版選修2-2第83頁例3：類比平面內(nèi)直角三角形的勾股定理，試給出空間中四面體性質(zhì)的猜想．
變式1：直角三角形與直角四面體的性質(zhì)類比
|
平面內(nèi)直角三角形的性質(zhì) |
空間中直角四面體的性質(zhì) |
 在ΔABC中，∠BCA=900，點C在AB上的射影為D，則有下列結論: (1) 點D在線段AB上． (2) AB>AC,AB>BC, 即直角三角形三邊中斜邊最長. (3) 射影定理: AC2=ADAB, CB2=DBAB, CD2=ADDB (4)  |
 在四面體SABC中，三個平面SAB、平面SBC、平面SAC兩兩垂直，點S在底面上的射影為O,則有類似結論: (1) 點O在ΔABC內(nèi)． (2) ΔABC，ΔABS，ΔSBC，ΔASC中，ΔABC的面積最大； (3)    (4)  |
以上結論的證明如下：
(1)由題設SA，SB，SC兩兩垂直，則三角形SBC為直角三角形，則斜邊BC邊上的高SD在三角形SBC內(nèi)，即點D在BC上，
連結AD，則BC⊥平面SAD，則平面ABC⊥平面ASD，過點S在面SAD內(nèi)作SO
AD于O，則SO⊥平面ABC，即點S在平面ABC的射影為O；
由于三角形SAD為直角三角形，則斜邊AD上的高的垂足O在線段AD上，即O在三角形ABC內(nèi)．
(2)由于
，
，
∵SAD為直角三角形，則斜邊
，故
；
同理可證：
，
．
(3)
，而在直角三角形ASD中，
，
∴
，
因此 ．，同理可證，．
(4)在直角三角形SAD中，由于SOAD于O，則
，
在直角三角形SBC中，由于SDBC于D，則
，
因此．
變式2：平面內(nèi)的一般三角形與空間中的四面體性質(zhì)類比
|
三角形 |
四面體 |
|
三角形兩邊之和大于第三邊. |
四面體任意三個面的面積之和大于第四個面的面積． |
|
三角形的三條內(nèi)角平分線交于一點且該點是三角形內(nèi)切圓的圓心. |
四面體的六個二面角的平分面交于一點，且該點是四面體內(nèi)切球的球心． |
|
三角形任意兩邊中點的連線平行于第三邊，且等于第三邊的一半. |
四面體任意三條棱的中點連成的三角形的面積等于第四個面面積的 ,且該三角形所在平面平行于第四個面. |
|
三角形的任何一條邊上的中線將三角形分成面積相等的兩部分. |
四面體的任何一個三角形面上的一條中線和這個三角形所在平面外一頂點所確定的平面將這個四面體分成體積相等的兩部分． |
|
三角形的三條中線交于一點，且三角形的每一條中線被該點分成的兩段的比為2：1. |
將四面體的每一個頂點和對面的重心相連接，所得四條線段交于一點，且其中每一條線段被交點分成的兩段的比都是3：1 |
在ΔABC中， 的平分線交BC于D，則 ； |
在四面體ABCD中，二面角C-AB-D的平分面交棱CD于點E，則， ； |
在ΔABC中， (正弦定理) |
在四面體ABCD中，棱AB與面ACD、BCD的夾角分別 ， ，則 |
設ΔABC的三邊長分別為 、 、 ，ΔABC的面積為 ，內(nèi)切圓半徑為 ，外接圓半徑為 ，則(1)  (2)  |
四面體S-ABCD的四個側面的面積分別為 ， ， ， ，內(nèi)切球的半徑為，外接球的半徑為，則(1) (2)  |
以上性質(zhì)，限于篇幅，不再一一證明．
變式3：平面內(nèi)三角形與空間中的三棱柱性質(zhì)類比
|
三角形 |
三棱柱 |
三角形的三個內(nèi)角之和為180 |
三棱柱的任意兩個側面所成的三個二面角之和為180． |
|
三角形中任意兩個兩邊之和大于第三邊 |
三棱柱的任意兩個側面的面積之和大于第三個側面的面積 |
|
三角形中較大的邊所對的角較大；反之，較大的角所對的邊也較大． |
三棱柱中面積較大的側面所對的二面角較大；反之，較大的二面角所對的側面的面積也較大． |
|
三角形中位線定理：三角形任意兩邊中點的連線平行于第三邊，且等于第三邊的一半． |
經(jīng)過三棱柱ABC-A1B1C1的棱A1C1、B1C1、BC中點D、E、F的平面與側面A1B1BA平行，且該平面被三棱柱ABC-A1B1C1所截得的四邊形DEFG的面積是側面A1B1BA面積的． |
|
三角形內(nèi)角平分線定理： 在ΔABC中， 的平分線交BC于D，則 ． |
 在三棱柱ABC-A1B1C1中，平面BB1GH平分面角A-BB1-C1，則 |
|
正弦定理： 在ΔABC中，有 |
如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，二面角B-AA1-C、C-BB1-A、B-CC1-A所成的二面角分別為、、 ，則有  |
余弦定理：在ΔABC中，有   |
在三棱柱ABC-A1B1C1中，二面角B-AA1-C、C-BB1-A、B-CC1-A所成的二面角分別為、、，則   |
三角形的面積為 |
在三棱柱ABC-A1B1C1中，棱CC1到側面A1ABB1的距離為 ，則三棱柱ABC-A1B1C1的體積為 ． |
以上性質(zhì)證明的關鍵是構造直截面(與側棱垂直的截面)，轉化為平面問題，以正弦定理的拓廣為例，其余的類似證明．
(6)如圖4，在三棱柱ABC-A1B1C1中，二面角B-AA1-C、
C-BB1-A、B-CC1-A所成的二面角分別為、、，
則 ；
證明：作平面DEF與三棱柱ABC-A1B1C1側棱垂直，分別交側棱AA1，BB1 ，CC1于點D，E，F，則
=，
，
，
在
DEF中，根據(jù)正弦定理得
，即
而
，且，因此．
1．人教A版選修2-2第96頁例1 在ΔABC中，三個內(nèi)角A，B，C對應的邊分別為
，且A，B，C成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，求證ΔABC為等邊三角形．
變式1：在ΔABC中，三個內(nèi)角A，B，C對應的邊分別為，且A，B，C成等差數(shù)列，也成等差數(shù)列，求證ΔABC為等邊三角形．
證明：由A，B，C成等差數(shù)列知，
，由余弦定理知
，
又也成等差數(shù)列，∴
，代入上式得
，
整理得
，∴
，從而
，而，則
，
從而ΔABC為等邊三角形．
變式2：在ΔABC中，三個內(nèi)角A，B，C對應的邊分別為，且
成等比數(shù)列，成等差數(shù)列，求證ΔABC為等邊三角形．
證明：由于成等比數(shù)列，則
，即
∴
(1)
又成等差數(shù)列，則
則
，
由于
，∴
，即
(2)
將(2)式代入(1)式得：
，
∴
或
(舍去)，而
，∴ (3)
將(3)代入(1)得：
，由于
，∴，
因此，從而ΔABC為等邊三角形．
變式3：在ΔABC中，三個內(nèi)角A，B，C對應的邊分別為，且成等比數(shù)列，成等比數(shù)列，求證ΔABC為等邊三角形．
證明：由于成等比數(shù)列，則，即 ∴ (1)
又成等比數(shù)列，則
，∴
，
即
(2)
將(2)代入(1)得：
，∴或
(舍去)
而，∴ (3)將(3)代入(1)得：，
由于，∴，因此，從而ΔABC為等邊三角形．
變式4：在ΔABC中，三個內(nèi)角A，B，C對應的邊分別為，且成等差數(shù)列，成等差數(shù)列，求證ΔABC為等邊三角形．
證明：由于成等差數(shù)列，則
=
∴
(1)
又成等差數(shù)列，則，∴，
由于，∴ (2)
將(1)代入(2)得
，∴，而，∴ (3)將(3)代入(2)得：
，由于
，∴
，
因此，從而ΔABC為等邊三角形．
變式5： 在ΔABC中，三個內(nèi)角A，B，C對應的邊分別為，且成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，求證ΔABC為等邊三角形．
證明：由于成等差數(shù)列，則=
∴，則
(1)
又成等比數(shù)列，則，∴，
即 (2)
將(1)代入(2)整理得:
即
，分解因式得
，∴或(舍去)或
(舍去)
而，∴ (3)將(3)代入(2)得：，
由于，∴，因此，從而ΔABC為等邊三角形．
2．人教A版選修2-2第101頁例5：求證
是無理數(shù)
變式1：求證
是無理數(shù)
證明：假設是無理數(shù)，則存在互質(zhì)的數(shù)
，使得
，從而 
，即
，
所以
為3的倍數(shù)，于是可設
，因此，
，即
，所以
也為3的倍數(shù)，這與互質(zhì)矛盾，由此可知假設是錯誤的，從而是無理數(shù)．
變式2：若
為奇數(shù)，則
是無理數(shù)．
證明：假設是有理數(shù)，則存在互質(zhì)的數(shù)，使得
，則
，∴
，∴
，∴
為偶數(shù)，
由于
為偶數(shù)，說明，
與
同為偶數(shù)或同為奇數(shù)，由于它們的積為偶數(shù)，則與同為偶數(shù)，設
，
，從而有
即
，∴
為偶數(shù)，∴為偶數(shù)，則也為偶數(shù)，這與互質(zhì)矛盾，由此可知假設是錯誤的，從而是無理數(shù)．
人教A版選修2-2第106頁例1：用數(shù)學歸納法證明 
．
變式1：是否存在常數(shù)，使得
對一切正整數(shù)都成立？并證明你的結論．
解：假設存在常數(shù)使等式成立，令
得：
解之得
，下面用數(shù)學歸納法證明：對一切正整數(shù)都成立．(略)
變式2：已知
，是否存在的整式
，使得等式
對于大于1的一切正整數(shù)都成立？并證明你的結論．
解：假設存在，
令
，求得
，令
，求得
，令
，求得
，
由此猜想：
，下面用數(shù)學歸納法證明：
對一切大于1的正整數(shù)都成立．(略)