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2.人教A版選修2-2第101頁例5:求證是無理數(shù)
變式1:求證是無理數(shù)
證明:假設(shè)是無理數(shù),則存在互質(zhì)的數(shù),使得,從而 ,即,
所以為3的倍數(shù),于是可設(shè),因此,,即,所以也為3的倍數(shù),這與互質(zhì)矛盾,由此可知假設(shè)是錯誤的,從而是無理數(shù).
變式2:若為奇數(shù),則是無理數(shù).
證明:假設(shè)是有理數(shù),則存在互質(zhì)的數(shù),使得,則
,∴,∴,∴為偶數(shù),
由于為偶數(shù),說明,與同為偶數(shù)或同為奇數(shù),由于它們的積為偶數(shù),則與同為偶數(shù),設(shè),,從而有
即,∴為偶數(shù),∴為偶數(shù),則也為偶數(shù),這與互質(zhì)矛盾,由此可知假設(shè)是錯誤的,從而是無理數(shù).