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14.如圖,在矩形ABCD中,對角線AC與BD相交于點O,∠AOB=60°,AB=1,則AD的長為_____.
(2)求證:
參考答案
1.B
[解析]菱形的面積公式:菱形面積,其中a,b分別為菱形的兩條對角線的長.
根據(jù)上述公式和題意,得
該菱形的面積.
故本題應(yīng)選B.
2.C
[解析]6x2-x=-5,6x2-x+5=0,所以二次項系數(shù)是6、一次項系數(shù)是-1、常數(shù)項是5,故選C.
[點睛]本題主要考查一元二次方程的二次項系數(shù),一次項系數(shù),常數(shù)項等,解決此類問題的關(guān)鍵是要把所給的一元二次方程化為一般式,然后再進行解答.
3.B.
[解析]
試題分析:∵△BCE繞點C順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到△DCF,∴CE=CF,∠DFC=∠BEC=60°,∠EFC=45°,∴∠EFD=60°﹣45°=15°.故選B.
考點:旋轉(zhuǎn)的性質(zhì);正方形的性質(zhì).
4.C
[解析]當一個直角三角形的兩直角邊分別是6,8時,
由勾股定理得,斜邊==10,則斜邊上的中線=×10=5,
當8是斜邊時,斜邊上的中線是4,
故選C.
5.A
[解析]求出的值,推出△AEF∽△ABC,得出,把S四邊形BCFE=8代入求出即可. 解:∵, ∴, ∵EF∥BC, ∴△AEF∽△ABC, ∴, ∴9S△AEF=S△ABC, ∵S四邊形BCFE=8, ∴9(S△ABC-8)=S△ABC, 解得:S△ABC=9. 故選A. “點睛”本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用,注意:相似三角形的面積比等于相似比的平方,題型較好,但是一道比較容易出錯的題目.
6.B
[解析]畫樹狀圖展示所有12種等可能的結(jié)果數(shù),再找出恰好抽到1班和2班的結(jié)果數(shù),然后根據(jù)概率公式求解.
解:畫樹狀圖為:
共有12種等可能的結(jié)果數(shù),其中恰好抽到1班和2班的結(jié)果數(shù)為2,
所以恰好抽到1班和2班的概率=.
故選B.
7.A
[解析]試題解析: 是平行四邊形,
故選A.
8.D
[解析]試題解析:該廠四、五月份的月平均增長率為.
則:
解得: (舍去).
故選D.
9.B
[解析]
試題分析:根據(jù)平行線分線段成比例定理,得到比例式,把已知數(shù)據(jù)代入計算即可.
∵DE∥BC, ∴=,又AC=6, ∴AE=4
考點:平行線分線段成比例.
10.A
[解析]利用比例的性質(zhì)即可求解.
解:∵x:y=1:2,由合比性質(zhì)得,(x+y):y=3:2.
故選A.
11.B
[解析]試題解析::∵∠B=∠B,∠CAB=∠BCD ∴△ABC∽△CBD ∴BC:BD=AB:BC ∴BC:BD=(AD+BD):BC 即BC:4=(2+4):BC ∴BC=2, 故選B.
12.C.
[解析]
試題分析:∵點E(﹣4,2),以O(shè)為位似中心,按2:1的相似比把△EFO縮小為△E′F′O,
∴點E的對應(yīng)點E′的坐標為:(2,﹣1)或(﹣2,1).
故選C.
考點:1.位似變換;2.坐標與圖形性質(zhì).
13.10
[解析]試題分析:設(shè)這次聚會的同學(xué)共x人,則每個人握手(x-1)次,而兩個人之間握手一次,因而共握手x(x-1)次,即可列方程求解.
解:設(shè)這次聚會的同學(xué)共x人,根據(jù)題意得,
x(x−1) =45,
解得x=10或x=−9(舍去),
所以參加這次聚會的同學(xué)共有10人.
故答案為:10.
點睛:本題考查列一元二次方程解決實際問題.解題的關(guān)鍵在于分析題意,找出相等關(guān)系并建立方程,同時要注意方程的解是否滿足實際問題的情境.
14.
[解析]
AD=
15.9
[解析]
試題分析:將x2﹣2x看作一個整體并由x2﹣2x﹣1的值為2,求出其值x2﹣2x=3,然后代入代數(shù)式進行計算即可得3x2﹣6x=3(x2﹣2x)=3×3=9.
考點:代數(shù)式求值
16..
[解析]由從﹣1、0、、0.3、π、這六個數(shù)中任意抽取一個,抽取到無理數(shù)的有2種情況,直接利用概率公式求解即可求得答案.
解:∵從﹣1、0、、0.3、π、這六個數(shù)中任意抽取一個,抽取到無理數(shù)的有2種情況,即:、π;
∴抽取到無理數(shù)的概率為: .
故答案為: .
17.60
[解析]設(shè)小樹的高度為xcm,1.5m=150cm,
根據(jù)題意得,,
解得x=60
故答案為:60.
18.∠B=∠E等
[解析]添加∠B=∠E,可由“兩邊成比例且夾角相等”判定△ABC∽△AED.添加(或),可由“三邊成比例”判定△ABC∽△AED.
19.9
[解析]試題分析:在同一時刻物高和影長成正比,即在同一時刻的兩個物體,影子,經(jīng)過物體頂部的太陽光線三者構(gòu)成的兩個直角三角形相似.根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊的比相等,即可求解.
解:∵DE∥AB,DF∥AC,
∴△DEF∽△ABC,
∴=,
即=,
∴AC=6×1.5=9米.
故答案為:9.
考點:相似三角形的應(yīng)用.
20.2.4
[解析]由DG∥BC得△ADG∽△ABC,利用相似三角形對應(yīng)邊上高的比等于相似比,列方程求解.
解:設(shè)正方形的邊長為x. 由正方形DEFG得,DG∥EF,即DG∥BC, ∵AM⊥BC于M,
∴AH⊥DG. 由DG∥BC得△ADG∽△ABC ∴, ,
解得:x=2.4, ∴正方形的邊長為:2.4.
“點睛”本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì).關(guān)鍵是由平行線得到相似三角形,利用相似三角形的性質(zhì)列方程.
21.見解析
[解析]
試題分析:根據(jù)平行四邊形的判定推出四邊形OBEC是平行四邊形,根據(jù)菱形性質(zhì)求出∠AOB=90°,根據(jù)矩形的判定推出即可.
[解答]證明:∵BE∥AC,CE∥DB,
∴四邊形OBEC是平行四邊形,
又∵四邊形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,
∴∠AOB=90°,
∴平行四邊形OBEC是矩形.
22.(1)x1=﹣ ,x2=5;
(2)x1=2+,x2=2﹣?。?/p>
[解析]試題分析:(1)先整理到一般形式,然后利用因式分解法求解即可;
(2)通過配方法進行求解即可.
試題解析:(1)(x﹣3)(2x+5)=30
2x2﹣x﹣45=0
(2x+9)(x﹣5)=0
2x+9=0,x﹣5=0
解得:x1=﹣ ,x2=5;
(2)x2﹣4x+1=0
x2﹣4x=﹣1
x2﹣4x+4=﹣1+4
(x﹣2)2=3
x﹣2=±
解得:x1=2+,x2=2﹣ .
23.AB ,CD的長分別是20米,20米.
[解析]
試題分析:設(shè)AB的長度為x,用x表示出BC的長,再根據(jù)總面積為400平方米列方程,然后解方程即可.
試題解析:設(shè)AB的長度為x,則BC的長度為(100-4x)米.根據(jù)題意得
(100-4x)x=400,
解得 x1=20,x2=5.
則100-4x=20或100-4x=80.
所以80>25
所以x=5(舍去)
既AB=20 BC=20
答 羊圈的邊長AB CD的長分別是20米 20米
考點:一元二次方程的應(yīng)用.
24.(1)1個;(2).
[解析]
試題分析:(1)設(shè)紅球的個數(shù)為x個,根據(jù)概率公式得到=,然后解方程即可;
(2)先畫樹狀圖展示所有12種等可能結(jié)果,再找出兩次摸到的球是1個紅球1個白球的結(jié)果數(shù),然后根據(jù)概率公式計算.
解:(1)設(shè)紅球的個數(shù)為x個,
根據(jù)題意得=,
解得x=1(檢驗合適),
所以布袋里紅球有1個;
(2)畫樹狀圖如下:
共有12種等可能結(jié)果,其中兩次摸到的球是1個紅球1個白球的結(jié)果數(shù)為4種,
所以兩次摸到的球都是白球的概率==.
考點:列表法與樹狀圖法.
25.s或4s.
[解析]
試題分析:首先設(shè)運動了ts,根據(jù)題意得:AP=2tcm,CQ=3tcm,然后分別從當△APQ∽△ABC與當△APQ∽△ACB時去分析求解即可求得答案.
試題解析:設(shè)運動了ts,根據(jù)題意得:AP=2tcm,CQ=3tcm,則AQ=AC﹣CQ=16﹣3t(cm),
當△APQ∽△ABC時,,即,解得:t=;
當△APQ∽△ACB時,,即,解得:t=4;
故當以A、P、Q為頂點的三角形與△ABC相似時,運動時間是:s或4s.
考點:相似三角形的性質(zhì).
26.(1)證明見解析;(2)證明見解析
[解析]試題分析:
(1) 要證△ABD≌△BCE,利用△ABC是等邊三角形可以得到,AB=BC,∠ABC=∠BCA. 在這種情況下觀察圖形可知,在待證明的兩個三角形中已經(jīng)獲得一組對應(yīng)邊相等和一組對應(yīng)角相等,再根據(jù)已知條件BD=CE,根據(jù)SAS即可證明這兩個三角形全等.
(2) 觀察待證明的等式形式可知,AE應(yīng)為BE和EF的比例中項. 將待證明的等式改寫為比例式后,利用“三點定形法”可以找到一組合適的相似三角形△EBA與△EAF. 觀察這兩個三角形發(fā)現(xiàn):這兩個三角形有一組對應(yīng)角為公共角;對于另一組對應(yīng)角∠EBA與∠EAF而言,可以通過第(1)問中的全等三角形和△ABC的性質(zhì)證明其相等. 利用相似三角形的判定定理即可獲得這組三角形相似,進而證明等式成立.
試題解析:
(1) ∵△ABC是等邊三角形,
∴AB=BC,∠ABC=∠BCA,即∠ABD=∠BCE,
∵在△ABD與△BCE中:
,
∴△ABD≌△BCE (SAS).
(2) ∵△ABC是等邊三角形,
∴∠ABC=∠BAC,
∵△ABD≌△BCE,
∴∠BAD=∠CBE,
∴∠ABC-∠CBE =∠BAC-∠BAD,
∴∠EBA=∠CAD,即∠EBA=∠EAF,
∵在△EBA與△EAF中:
∠AEB=∠FEA (公共角),∠EBA=∠EAF,
∴△EBA∽△EAF,
∴,
即AE2=BE.EF.
點睛:
利用相似三角形證明比例式的難點在于尋找合適的三角形. 所謂“三點定形法”就是,將待證明比例式中的線段端點與題目圖形中的三角形頂點作對照,從而選出兩個可能的相似三角形來嘗試證明的方法. 靈活運用該方法可以提高尋找相似三角形的效率.