函數(shù)y=－x2+a的導(dǎo)數(shù)y′=－2x, 曲線C2 在點(diǎn)Q(x2,－x+a)的切線方程是

如果直線l是過(guò)P和Q的公切線，則①式和②式都是l的方程， 消去x2得方程　 2x+2x2+1+a=0. 若判別式△=4－4×2(1+a)=0時(shí)，即a=－時(shí)解得x1=－，此時(shí)點(diǎn)P與Q重合. 即當(dāng)a=－時(shí)C1和C2有且僅有一條公切線，由①得公切線方程為　 y=x－　. 　 (Ⅱ)證明：由(Ⅰ)可知.當(dāng)a<－時(shí)C1和C2有兩條公切線 設(shè)一條公切線上切點(diǎn)為：P(x1,y1), 　 Q(x2 , y2 ). 其中P在C1上，Q在C2上，則有x1+x2=－1, y1+y2=x+2x1+(－x+a)= x+2x1－(x1+1)2+a=－1+a . 線段PQ的中點(diǎn)為同理，另一條公切線段P′Q′的中點(diǎn)也是 所以公切線段PQ和P′Q′互相平分.2．已知f(x)=x2+ax+b, g(x)=x2+cx+d,又f(2x+1)=4g(x),且，f(5)=30,則求g(4)。 解：　 　 ∵f(2x+1)=4g(x)　 　∴　 　∴　 又 f(5)=30=25+10+b　 ∴b=-5　 d=　 　∴g(x)=x2+2x　 　∴g(4)=

3．已知向量=(1，0)，=(0，1)，函數(shù)的圖象在軸上的截距為1，在=2處切線的方向向量為，并且函數(shù)當(dāng)時(shí)取得極值。 (1)求的解析式；(2)求的單調(diào)遞增區(qū)間；(3)求的極值。

4.(全國(guó)卷Ⅱ)設(shè)a為實(shí)數(shù),函數(shù)　(Ⅰ)求的極值. (Ⅱ)當(dāng)a在什么范圍內(nèi)取值時(shí),曲線軸僅有一個(gè)交點(diǎn). 解：(I)=3－2－1　　 若=0，則==－，=1 當(dāng)變化時(shí)，，變化情況如下表： (－∞，－) － (－，1) 1 (1，+∞) + 0 － 0 + 極大值 極小值 ∴的極大值是，極小值是 (II)函數(shù)，由此可知，取足夠大的正數(shù)時(shí)，有>0，取足夠小的負(fù)數(shù)時(shí)有<0，所以曲線=與軸至少有一個(gè)交點(diǎn)結(jié)合的單調(diào)性可知： 當(dāng)?shù)臉O大值<0，即時(shí)，它的極小值也小于0，因此曲線=與軸僅有一個(gè)交點(diǎn)，它在(1，+∞)上。 當(dāng)?shù)臉O小值－1>0即(1，+∞)時(shí)，它的極大值也大于0，因此曲線=與軸僅有一個(gè)交點(diǎn)，它在(－∞，－)上?！喈?dāng)∪(1，+∞)時(shí)，曲線=與軸僅有一個(gè)交點(diǎn)。

6．(湖南卷)設(shè)，點(diǎn)P(，0)是函數(shù)的圖象的一個(gè)公共點(diǎn)，兩函數(shù)的圖象在點(diǎn)P處有相同的切線.；(Ⅰ)用表示a，b，c； (Ⅱ)若函數(shù)在(－1，3)上單調(diào)遞減，求的取值范圍. 解：(I)因?yàn)楹瘮?shù)，的圖象都過(guò)點(diǎn)(，0)，所以， 　 　 即.因?yàn)樗?　 　　　 又因?yàn)?，在點(diǎn)(，0)處有相同的切線，所以 　　　 而 　　　 將代入上式得　 因此故，， (II)解法一. 當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減. 由，若；若 由題意，函數(shù)在(－1，3)上單調(diào)遞減，則 所以 又當(dāng)時(shí)，函數(shù)在(－1，3)上單調(diào)遞減. 所以的取值范圍為 解法二： 　　　 因?yàn)楹瘮?shù)在(－1，3)上單調(diào)遞減，且是(－1，3) 上的拋物線， 　　　 所以　 即解得 　　　 所以的取值范圍為

8．(北京卷)已知函數(shù)在點(diǎn)處取得極大值，其導(dǎo)函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，如圖所示.求：(Ⅰ)的值； (Ⅱ)的值. 解析：解法一： (Ⅰ)由圖象可知，在(－∞，1)上,在(1,2)上,在上, 故在,上遞增,在(1,2)上遞減,因此在處取得極大值,所以. (Ⅱ)由 得解得 解法二:(Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)設(shè)又 所以　 由,即得,　 所以. 9．(湖南卷)已知函數(shù).　　 (I)討論函數(shù)的單調(diào)性；　　　 (Ⅱ)若曲線上兩點(diǎn)A、B處的切線都與y軸垂直，且線段AB與x軸有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 解　(Ⅰ)由題設(shè)知.令. 當(dāng)(i)a>0時(shí)， 若，則，所以在區(qū)間上是增函數(shù)； 若，則，所以在區(qū)間上是減函數(shù)； 若，則，所以在區(qū)間上是增函數(shù)； (i i)當(dāng)a＜0時(shí)， 若，則，所以在區(qū)間上是減函數(shù)； 若，則，所以在區(qū)間上是減函數(shù)； 若，則，所以在區(qū)間上是增函數(shù)； 若，則，所以在區(qū)間上是減函數(shù). (Ⅱ)由(Ⅰ)的討論及題設(shè)知，曲線上的兩點(diǎn)A、B的縱坐標(biāo)為函數(shù)的極值，且函數(shù)在處分別是取得極值，. 因?yàn)榫€段AB與x軸有公共點(diǎn)，所以.即 .所以. 故. 解得　－1≤a＜0或3≤a≤4.即所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-1，0)∪[3，4].

10．(全國(guó)卷I)設(shè)為實(shí)數(shù)，函數(shù)在和都是增函數(shù)，求的取值范圍。 解:f'(x)=3x2－2ax+(a2－1),其判別式△=4a2－12a2+12=12－8a2. (ⅰ)若△=0,即a=±,當(dāng)x∈(－∞,),或x∈(,+∞)時(shí), f'(x)>0,f(x)在(－∞,+∞)為增函數(shù).所以a=±. (ⅱ)若△=12－8a2<0,恒有f'(x)>0,f(x)在(－∞,+∞)為增函數(shù), 所以a2>,即a∈(－∞,－)∪(,+∞) (ⅲ)若△12－8a2>0,即－<a<,令f'(x)=0,解得x1=,x2=. 當(dāng)x∈(－∞,x1),或x∈(x2,+∞)時(shí),f'(x)>0,f(x)為增函數(shù);當(dāng)x∈(x1,x2)時(shí),f'(x)<0,f(x)為減函數(shù).依題意x1≥0且x2≤1.由x1≥0得a≥,解得1≤a< 由x2≤1得≤3－a,解得－<a<,從而a∈[1,) 綜上,a的取值范圍為(－∞,－]∪[,+∞)∪[1,),即a∈(－∞,－]∪[1,∞).

11．(全國(guó)II)設(shè)函數(shù)f(x)＝(x+1)ln(x+1)，若對(duì)所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 解法一：令g(x)＝(x+1)ln(x+1)－ax， 對(duì)函數(shù)g(x)求導(dǎo)數(shù)：g′(x)＝ln(x+1)+1－a 令g′(x)＝0，解得x＝ea－1－1，　　 ……5分 (i)當(dāng)a≤1時(shí)，對(duì)所有x＞0，g′(x)＞0，所以g(x)在[0，+∞)上是增函數(shù)， 又g(0)＝0，所以對(duì)x≥0，都有g(shù)(x)≥g(0)， 即當(dāng)a≤1時(shí)，對(duì)于所有x≥0，都有　f(x)≥ax．……9分 (ii)當(dāng)a＞1時(shí)，對(duì)于0＜x＜ea－1－1，g′(x)＜0，所以g(x)在(0，ea－1－1)是減函數(shù)， 又g(0)＝0，所以對(duì)0＜x＜ea－1－1，都有g(shù)(x)＜g(0)，即當(dāng)a＞1時(shí)，對(duì)所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立． 綜上，a的取值范圍是(－∞，1]．　　 ……12分 解法二：令g(x)＝(x+1)ln(x+1)－ax，于是不等式f(x)≥ax成立 即為g(x)≥g(0)成立．　……3分 對(duì)函數(shù)g(x)求導(dǎo)數(shù)：g′(x)＝ln(x+1)+1－a令g′(x)＝0，解得x＝ea－1－1，　　 　……6分 當(dāng)x＞ ea－1－1時(shí)，g′(x)＞0，g(x)為增函數(shù)， 當(dāng)－1＜x＜ea－1－1，g′(x)＜0，g(x)為減函數(shù)，　　 ……9分 所以要對(duì)所有x≥0都有g(shù)(x)≥g(0)充要條件為ea－1－1≤0．由此得a≤1，即a的取值范圍是(－∞，1]．