1、函數(shù)是減函數(shù)的區(qū)間為(　 )

(A)(B)(C)(D)

2. 　在函數(shù)的圖象上，其切線的傾斜角小于的點中，坐標(biāo)為整數(shù)的點的個數(shù)(　 　)

　　　 A．3　 　B．2　　 C．1　 D．0

3． 對于R上可導(dǎo)的任意函數(shù)f(x)，若滿足(x－1)³0，則必有(　 )

A.f(0)+f(2)<2f(1) B. f(0)+f(2)£2f(1)

C.　 f(0)+f(2)³2f(1) D. f(0)+f(2)>2f(1)

4.設(shè)，曲線在點處切處的傾斜角的取值范圍為，則P到曲線對稱軸距離的取值范圍( 　)

A．　B．　 C． 　　D．

5．與直線的平行的拋物線的切線方程是　　　　 (　　 )

　　 A．　　　 B．　 C．　 D．

6．設(shè)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，，當(dāng)時，且則不等式的解集是　　 (　　 )

　　 A．　B．　　　　　

　　 C．　D．

7．函數(shù)f(x)=x(x－1)(x－2).….(x－100)在處的導(dǎo)數(shù)值為　　　　　 (　 )

A.0　　　 B.　 C.200　　　　　 .100！

8．過點(－1，0)作拋物線的切線，則其中一條切線為　 (　 )

　(A)　 (B)　 (C)　　 (D)

小題答案：

9．設(shè)函數(shù)，(、、　是兩兩不等的常數(shù))，則　　　 ．0

10.解析：曲線和在它們的交點坐標(biāo)是(1，1)，兩條切線方程分別是y=－x+2和y=2x－1，它們與軸所圍成的三角形的面積是.

1.已知拋物線C₁：y=x²+2x和C：y=－x²+a，如果直線l同時是C₁和C₂的切線，稱l是C₁和C₂的公切線，公切線上兩個切點之間的線段，稱為公切線段.

　 (Ⅰ)a取什么值時，C₁和C₂有且僅有一條公切線？寫出此公切線的方程；

　 (Ⅱ)若C₁和C₂有兩條公切線，證明相應(yīng)的兩條公切線段互相平分.

解：本小題主要考查導(dǎo)數(shù)、切線等知識及綜合運用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力，滿分12分

　 (Ⅰ)解：函數(shù)y=x²+2x的導(dǎo)數(shù)y′=2x+2,曲線C₁在點P(x₁,x+2x₁)的切線方程是：

函數(shù)y=－x²+a的導(dǎo)數(shù)y′=－2x, 曲線C₂ 在點Q(x₂,－x+a)的切線方程是

如果直線l是過P和Q的公切線，則①式和②式都是l的方程，

消去x₂得方程　 2x+2x₂+1+a=0.

若判別式△=4－4×2(1+a)=0時，即a=－時解得x₁=－，此時點P與Q重合.

即當(dāng)a=－時C₁和C₂有且僅有一條公切線，由①得公切線方程為　 y=x－　.

　 (Ⅱ)證明：由(Ⅰ)可知.當(dāng)a<－時C₁和C₂有兩條公切線

設(shè)一條公切線上切點為：P(x₁,y₁), 　 Q(x₂ , y₂ ).

其中P在C₁上，Q在C₂上，則有x₁+x₂=－1,

y₁+y₂=x+2x₁+(－x+a)= x+2x₁－(x₁+1)²+a=－1+a .

線段PQ的中點為同理，另一條公切線段P′Q′的中點也是

所以公切線段PQ和P′Q′互相平分.

2．已知f(x)=x²+ax+b, g(x)=x²+cx+d,又f(2x+1)=4g(x),且，f(5)=30,則求g(4)。

解：　 　

∵f(2x+1)=4g(x)　 　∴　

　∴　

又 f(5)=30=25+10+b　 ∴b=-5　 d=　 　∴g(x)=x²+2x　 　∴g(4)=

3．已知向量=(1，0)，=(0，1)，函數(shù)的圖象在軸上的截距為1，在=2處切線的方向向量為，并且函數(shù)當(dāng)時取得極值。

(1)求的解析式；(2)求的單調(diào)遞增區(qū)間；(3)求的極值。

4.(全國卷Ⅱ)設(shè)a為實數(shù),函數(shù)　(Ⅰ)求的極值.

(Ⅱ)當(dāng)a在什么范圍內(nèi)取值時,曲線軸僅有一個交點.

解：(I)=3－2－1　　 若=0，則==－，=1

當(dāng)變化時，，變化情況如下表：

	(－∞，－)	－	(－，1)	1	(1，+∞)
	+	0	－	0	+
		極大值		極小值

∴的極大值是，極小值是

(II)函數(shù)，由此可知，取足夠大的正數(shù)時，有>0，取足夠小的負(fù)數(shù)時有<0，所以曲線=與軸至少有一個交點結(jié)合的單調(diào)性可知：

當(dāng)的極大值<0，即時，它的極小值也小于0，因此曲線=與軸僅有一個交點，它在(1，+∞)上。

當(dāng)的極小值－1>0即(1，+∞)時，它的極大值也大于0，因此曲線=與軸僅有一個交點，它在(－∞，－)上?！喈?dāng)∪(1，+∞)時，曲線=與軸僅有一個交點。

6．(湖南卷)設(shè)，點P(，0)是函數(shù)的圖象的一個公共點，兩函數(shù)的圖象在點P處有相同的切線.；(Ⅰ)用表示a，b，c；

(Ⅱ)若函數(shù)在(－1，3)上單調(diào)遞減，求的取值范圍.

解：(I)因為函數(shù)，的圖象都過點(，0)，所以，

　 　 即.因為所以.　

　　　 又因為，在點(，0)處有相同的切線，所以

　　　 而

　　　 將代入上式得　 因此故，，

(II)解法一.

當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減.

由，若；若

由題意，函數(shù)在(－1，3)上單調(diào)遞減，則

所以

又當(dāng)時，函數(shù)在(－1，3)上單調(diào)遞減.

所以的取值范圍為

解法二：

　　　 因為函數(shù)在(－1，3)上單調(diào)遞減，且是(－1，3)

上的拋物線，

　　　 所以　 即解得

　　　 所以的取值范圍為

7.(安徽卷)設(shè)函數(shù)，已知是奇函數(shù)。

(Ⅰ)求、的值。(Ⅱ)求的單調(diào)區(qū)間與極值。

解析：(Ⅰ)∵，∴。

從而＝是一個奇函數(shù)，所以得，由奇函數(shù)定義得；

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，從而，由此可知，和是函數(shù)是單調(diào)遞增區(qū)間；是函數(shù)是單調(diào)遞減區(qū)間；

在時，取得極大值，極大值為，在時，取得極小值，極小值為。

8．(北京卷)已知函數(shù)在點處取得極大值，其導(dǎo)函數(shù)的圖象經(jīng)過點，，如圖所示.求：(Ⅰ)的值； (Ⅱ)的值.

解析：解法一： (Ⅰ)由圖象可知，在(－∞，1)上,在(1,2)上,在上, 故在,上遞增,在(1,2)上遞減,因此在處取得極大值,所以.

(Ⅱ)由

得解得

解法二:(Ⅰ)同解法一.

(Ⅱ)設(shè)又

所以　

由,即得,　 所以. 9．(湖南卷)已知函數(shù).　　 (I)討論函數(shù)的單調(diào)性；　　　 (Ⅱ)若曲線上兩點A、B處的切線都與y軸垂直，且線段AB與x軸有公共點，求實數(shù)a的取值范圍.

解　(Ⅰ)由題設(shè)知.令.

當(dāng)(i)a>0時，

若，則，所以在區(qū)間上是增函數(shù)；

若，則，所以在區(qū)間上是減函數(shù)；

若，則，所以在區(qū)間上是增函數(shù)；

(i i)當(dāng)a＜0時，

若，則，所以在區(qū)間上是減函數(shù)；

若，則，所以在區(qū)間上是減函數(shù)；

若，則，所以在區(qū)間上是增函數(shù)；

若，則，所以在區(qū)間上是減函數(shù).

(Ⅱ)由(Ⅰ)的討論及題設(shè)知，曲線上的兩點A、B的縱坐標(biāo)為函數(shù)的極值，且函數(shù)在處分別是取得極值，.

因為線段AB與x軸有公共點，所以.即

.所以. 故.

解得?。?≤a＜0或3≤a≤4.即所求實數(shù)a的取值范圍是[-1，0)∪[3，4].

10．(全國卷I)設(shè)為實數(shù)，函數(shù)在和都是增函數(shù)，求的取值范圍。

解:f'(x)=3x²－2ax+(a²－1),其判別式△=4a²－12a²+12=12－8a².

(ⅰ)若△=0,即a=±,當(dāng)x∈(－∞,),或x∈(,+∞)時,

f'(x)>0,f(x)在(－∞,+∞)為增函數(shù).所以a=±.

(ⅱ)若△=12－8a²<0,恒有f'(x)>0,f(x)在(－∞,+∞)為增函數(shù),

所以a²>,即a∈(－∞,－)∪(,+∞)

(ⅲ)若△12－8a²>0,即－<a<,令f'(x)=0,解得x₁=,x₂=.

當(dāng)x∈(－∞,x₁),或x∈(x₂,+∞)時,f'(x)>0,f(x)為增函數(shù);當(dāng)x∈(x₁,x₂)時,f'(x)<0,f(x)為減函數(shù).依題意x₁≥0且x₂≤1.由x₁≥0得a≥,解得1≤a<

由x₂≤1得≤3－a,解得－<a<,從而a∈[1,)

綜上,a的取值范圍為(－∞,－]∪[,+∞)∪[1,),即a∈(－∞,－]∪[1,∞).

11．(全國II)設(shè)函數(shù)f(x)＝(x+1)ln(x+1)，若對所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立，求實數(shù)a的取值范圍．

解法一：令g(x)＝(x+1)ln(x+1)－ax，

對函數(shù)g(x)求導(dǎo)數(shù)：g′(x)＝ln(x+1)+1－a 令g′(x)＝0，解得x＝e^a－1－1，　　 ……5分

(i)當(dāng)a≤1時，對所有x＞0，g′(x)＞0，所以g(x)在[0，+∞)上是增函數(shù)，

又g(0)＝0，所以對x≥0，都有g(x)≥g(0)，

即當(dāng)a≤1時，對于所有x≥0，都有　f(x)≥ax．……9分

(ii)當(dāng)a＞1時，對于0＜x＜e^a－1－1，g′(x)＜0，所以g(x)在(0，e^a－1－1)是減函數(shù)，

又g(0)＝0，所以對0＜x＜e^a－1－1，都有g(x)＜g(0)，即當(dāng)a＞1時，對所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立．

綜上，a的取值范圍是(－∞，1]．　　 ……12分

解法二：令g(x)＝(x+1)ln(x+1)－ax，于是不等式f(x)≥ax成立

即為g(x)≥g(0)成立．　……3分

對函數(shù)g(x)求導(dǎo)數(shù)：g′(x)＝ln(x+1)+1－a令g′(x)＝0，解得x＝e^a－1－1，　　 　……6分

當(dāng)x＞ e^a－1－1時，g′(x)＞0，g(x)為增函數(shù)，

當(dāng)－1＜x＜e^a－1－1，g′(x)＜0，g(x)為減函數(shù)，　　 ……9分

所以要對所有x≥0都有g(x)≥g(0)充要條件為e^a－1－1≤0．由此得a≤1，即a的取值范圍是(－∞，1]．