10.(全國卷I)設(shè)為實數(shù),函數(shù)在和都是增函數(shù),求的取值范圍。
解:f'(x)=3x2-2ax+(a2-1),其判別式△=4a2-12a2+12=12-8a2.
(ⅰ)若△=0,即a=±,當(dāng)x∈(-∞,),或x∈(,+∞)時,
f'(x)>0,f(x)在(-∞,+∞)為增函數(shù).所以a=±.
(ⅱ)若△=12-8a2<0,恒有f'(x)>0,f(x)在(-∞,+∞)為增函數(shù),
所以a2>,即a∈(-∞,-)∪(,+∞)
(ⅲ)若△12-8a2>0,即-<a<,令f'(x)=0,解得x1=,x2=.
當(dāng)x∈(-∞,x1),或x∈(x2,+∞)時,f'(x)>0,f(x)為增函數(shù);當(dāng)x∈(x1,x2)時,f'(x)<0,f(x)為減函數(shù).依題意x1≥0且x2≤1.由x1≥0得a≥,解得1≤a<
由x2≤1得≤3-a,解得-<a<,從而a∈[1,)
綜上,a的取值范圍為(-∞,-]∪[,+∞)∪[1,),即a∈(-∞,-]∪[1,∞).