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題型1：集合的概念
例1．設集合
，若
，則下列關(guān)系正確的是( )
A．
B．
C．
D．
解：由于
中
只能取到所有的奇數(shù)，而
中18為偶數(shù)。則
。選項為D；
點評：該題考察了元素與集合、集合與集合之間的關(guān)系。首先應該分清楚元素與集合之間是屬于與不屬于的關(guān)系，而集合之間是包含與不包含的關(guān)系。
例2．設集合P={m|－1＜m≤0
，Q={m∈R|mx2+4mx－4＜0對任意實數(shù)x恒成立，則下列關(guān)系中成立的是( )
A．P
Q B．Q
P C．P=Q D．P∩Q=Q
解：Q={m∈R|mx2+4mx－4＜0對任意實數(shù)x恒成立＝，對m分類：
①m=0時，－4＜0恒成立；
②m＜0時，需Δ=(4m)2－4×m×(－4)＜0，解得m＜0。
綜合①②知m≤0，
∴Q={m∈R|m≤0}。
答案為A。
點評：該題考察了集合間的關(guān)系，同時考察了分類討論的思想。集合
中含有參數(shù)m，需要對參數(shù)進行分類討論，不能忽略m=0的情況。
題型2：集合的性質(zhì)
例3．(2000廣東，1)已知集合A={1，2，3，4}，那么A的真子集的個數(shù)是( )
A．15 B．16 C．3 D．4
解：根據(jù)子集的計算應有24－1=15(個)。選項為A；
點評：該題考察集合子集個數(shù)公式。注意求真子集時千萬不要忘記空集
是任何非空集合的真子集。同時，A不是A的真子集。
變式題：同時滿足條件：①
②若
，這樣的集合M有多少個，舉出這些集合來。
答案：這樣的集合M有8個。
例4．已知全集
，A={1,
}如果
，則這樣的實數(shù)
是否存在？若存在，求出，若不存在，說明理由。
解：∵；
∴
，即
＝0，解得
當
時，
，為A中元素；
當
時，
當
時，
∴這樣的實數(shù)x存在，是
或。
另法：∵
∴，
∴＝0且
∴或。
點評：該題考察了集合間的關(guān)系以及集合的性質(zhì)。分類討論的過程中“當時，”不能滿足集合中元素的互異性。此題的關(guān)鍵是理解符號是兩層含義：。
變式題：已知集合
，
,
,求
的值。
解：由
可知，
(1)
，或(2)
解(1)得
，
解(2)得
，
又因為當時，
與題意不符，
所以，
。
題型3：集合的運算
例5．(06全國Ⅱ理，2)已知集合M＝{x|x＜3，N＝{x|log2x＞1}，則M∩N＝( )
A．
B．{x|0＜x＜3
C．{x|1＜x＜3
D．{x|2＜x＜3
解：由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，且2>1，顯然由
易得
。從而
。故選項為D。
點評：該題考察了不等式和集合交運算。
例6．(06安徽理，1)設集合
，
，則
等于(
)
A．
B．
C．
D．
解：
，
，所以
，故選B。
點評：該題考察了集合的交、補運算。
題型4：圖解法解集合問題
例7．(2003上海春，5)已知集合A={x||x|≤2，x∈R}，B={x|x≥a}，且AB，則實數(shù)a
的取值范圍是____
_。
解：∵A={x|－2≤x≤2}，B={x|x≥a}，又A
B，利用數(shù)軸上覆蓋關(guān)系：如圖所示，因此有a≤－2。
點評：本題利用數(shù)軸解決了集合的概念和集合的關(guān)系問題。
例8．(1996全國理，1)已知全集I＝N*，集合A＝{x｜x＝2n，n∈N*}，B＝{x｜x＝4n，n∈N}，則( )
A．I＝A∪B B．I＝(
A)∪B
C．I＝A∪(B ) D．I＝(A)∪(B)
解：方法一：A中元素是非2的倍數(shù)的自然數(shù)，B中元素是非4的倍數(shù)的自然數(shù)，顯然，只有C選項正確.
方法二：因A＝{2，4，6，8…}，B＝{4，8，12，16，…}，所以B＝{1，2，3，5，6，7，9…}，所以I＝A∪B，故答案為C.
方法三：因BA，所以()A()B，()A∩(B)＝A，故I＝A∪(A)＝A∪(B)。
方法四：根據(jù)題意，我們畫出Venn圖來解，易知BA，如圖：可以清楚看到I=A∪(B)是成立的。
點評：本題考查對集合概念和關(guān)系的理解和掌握，注意數(shù)形結(jié)合的思想方法，用無限集考查，提高了對邏輯思維能力的要求。
題型5：集合的應用
例9．向50名學生調(diào)查對A、B兩事件的態(tài)度，有如下結(jié)果
贊成A的人數(shù)是全體的五分之三，其余的不贊成，贊成B的比贊成A的多3人，其余的不贊成；另外，對A、B都不贊成的學生數(shù)比對A、B都贊成的學生數(shù)的三分之一多1人。問對A、B都贊成的學生和都不贊成的學生各有多少人？
解：贊成A的人數(shù)為50×
=30，贊成B的人數(shù)為30+3=33，如上圖，記50名學生組成的集合為U，贊成事件A的學生全體為集合A；贊成事件B的學生全體為集合B。
設對事件A、B都贊成的學生人數(shù)為x,則對A、B都不贊成的學生人數(shù)為
+1,贊成A而不贊成B的人數(shù)為30－x，贊成B而不贊成A的人數(shù)為33－x。依題意(30－x)+(33－x)+x+(+1)=50,解得x=21。所以對A、B都贊成的同學有21人，都不贊成的有8人
。
點評：在集合問題中，有一些常用的方法如數(shù)軸法取交并集，韋恩圖法等，需要考生切實掌握。本題主要強化學生的這種能力。解答本題的閃光點是考生能由題目中的條件，想到用韋恩圖直觀地表示出來。本題難點在于所給的數(shù)量關(guān)系比較錯綜復雜，一時理不清頭緒，不好找線索。畫出韋恩圖，形象地表示出各數(shù)量關(guān)系間的聯(lián)系。
例10．求1到200這200個數(shù)中既不是2的倍數(shù)，又不是3的倍數(shù)，也不是5的倍數(shù)的自然數(shù)共有多少個？
解：如圖先畫出Venn圖，不難看出不符合條件
的數(shù)共有(200÷2)+(200÷3)+(200÷5)