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11、為研究“原函數(shù)圖象與其反函數(shù)圖象的交點(diǎn)是否在直線(xiàn)上”這個(gè)課題,我們可以分三步進(jìn)行研究:
(I)首先選取如下函數(shù):
,,
求出以上函數(shù)圖象與其反函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo):
與其反函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,-1)
與其反函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0),(1,1)
與其反函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)為(),(-1,0),(0,-1)
(II)觀察分析上述結(jié)果得到研究結(jié)論;
(III)對(duì)得到的結(jié)論進(jìn)行證明。
現(xiàn)在,請(qǐng)你完成(II)和(III)。
解:(II)原函數(shù)圖象與其反函數(shù)圖象的交點(diǎn)不一定在直線(xiàn)y=x上 2分
(III)證明:設(shè)點(diǎn)(a,b)是的圖象與其反函數(shù)圖象的任一交點(diǎn),由于原函數(shù)與反函數(shù)圖象關(guān)于直線(xiàn)y=x對(duì)稱(chēng),則點(diǎn)(b,a)也是的圖象與其反函數(shù)圖象的交點(diǎn),且有
若a=b時(shí),交點(diǎn)顯然在直線(xiàn)上
若a<b且是增函數(shù)時(shí),有,從而有b<a,矛盾;若b<a且是增函數(shù)時(shí),有,從而有a<b,矛盾
若a<b且是減函數(shù),有,從而a<b成立,此時(shí)交點(diǎn)不在直線(xiàn)y=x上;同理,b<a且是減函數(shù)時(shí),交點(diǎn)也不在直線(xiàn)y=x上。
綜上所述,如果函數(shù)是增函數(shù),并且的圖象與其反函數(shù)的圖象有交點(diǎn),則交點(diǎn)一定在直線(xiàn)上;
如果函數(shù)是減函數(shù),并且的圖象與其反函數(shù)的圖象有交點(diǎn),則交點(diǎn)不一定在直線(xiàn)y=x上?! ? 14分
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