1、(Ⅰ)已知函數(shù)：求函數(shù)的最小值;

(Ⅱ)證明:；

(Ⅲ)定理:若　均為正數(shù),則有　成立

(其中．請你構(gòu)造一個函數(shù)，證明：

當(dāng)均為正數(shù)時，．

解：(Ⅰ)令得…2分

當(dāng)時，　　 　故在上遞減．

當(dāng)故在上遞增．所以，當(dāng)時，的最小值為.….4分

(Ⅱ)由，有　即

故　．………………………………………5分

(Ⅲ)證明:要證：

只要證：

　設(shè)…………………7分

則

令得…………………………………………………….8分

當(dāng)時，

故上遞減，類似地可證遞增

所以的最小值為………………10分

而

=

==

由定理知: 　故

故　

即: .…………………………..14分

2、用類比推理的方法填表

等差數(shù)列中	等比數(shù)列中

答案：

3、10．定義一種運算“*”：對于自然數(shù)n滿足以下運算性質(zhì)：

(i)1*1=1，(ii)(n+1)*1=n*1+1，則n*1等于

A．n　　　　　　 B．n+1　　　　　 C．n -1　　　　　　 D．　　 答案：D

4、若為的各位數(shù)字之和，如：，，則;記____

答案：5

5、下面的一組圖形為某一四棱錐S-ABCD的側(cè)面與底面。

　

(1)請畫出四棱錐S-ABCD的示意圖，是否存在一條側(cè)棱垂直于底面？如果存在，請給出證明；如果不存在，請說明理由；

(2)若SA面ABCD，E為AB中點，求二面角E-SC-D的大??；

(3)求點D到面SEC的距離。

(1)存在一條側(cè)棱垂直于底面(如圖)………………3分

證明：且AB、AD是面ABCD內(nèi)的交線SA底面ABCD……………………5分

(2)分別取SC、SD的中點G、F，連GE、GF、FA，

則GF//EA,GF=EA,AF//EG

而由SA面ABCD得SACD，

又ADCD，CD面SAD，

又SA=AD,F是中點，　

　面SCD,EG面SCD,面SCD

所以二面角E-SC-D的大小為90…………10分

(3)作DHSC于H，

　　　　 面SEC面SCD,DH面SEC,

DH之長即為點D到面SEC的距離，12分

在RtSCD中，

答：點D到面SEC的距離為………………………14分

6、一個計算裝置有一個入口A和一輸出運算結(jié)果的出口B，將自然數(shù)列中的各數(shù)依次輸入A口，從B口得到輸出的數(shù)列，結(jié)果表明：①從A口輸入時，從B口得；②當(dāng)時，從A口輸入，從B口得到的結(jié)果是將前一結(jié)果先乘以自然數(shù)列中的第個奇數(shù)，再除以自然數(shù)列中的第個奇數(shù)。試問：

(1)　　　 從A口輸入2和3時，從B口分別得到什么數(shù)？

(2)　　　 從A口輸入100時，從B口得到什么數(shù)？并說明理由。

解(1)　　

　 (2)先用累乖法得

得

7、在△ABC中，，給出△ABC滿足的條件，就能得到動點A的軌跡方程，下表給出了一些條件及方程：

條件	方程
①△ABC周長為10	：
②△ABC面積為10	：
③△ABC中，∠A=90°	：

則滿足條件①、②、③的軌跡方程分別為　　　　　　　　　 (用代號、、填入)

答案：

8、已知兩個函數(shù)和的定義域和值域都是集合{1,2,3},其定義如下表.

x	1	2	3
f(x)	2	3	1

x	1	2	3
g(x)	1	3	2

填寫下列的表格,其三個數(shù)依次為

x	1	2	3
g (f(x))

A.　 3,1,2 　　　　　　B . 2,1,3　 　　　　　　　C. 　1,2,3 　　　　　　D. 3,2,1

答案：D

9、在實數(shù)的原有運算法則中，我們補充定義新運算“”如下：

　　　 當(dāng)時，；

　　　 當(dāng)時，。

　　　 則函數(shù)的最大值等于(　 C　 )

　　　 (“.”和“－”仍為通常的乘法和減法)A. 　　　　　 B. 1　　　　 C. 6　　　　 D. 12

10、已知，［x］表示不大于x的最大整數(shù)，如，，，則_____________；使成立的x的取值范圍是_____________　 答案：2

11、為研究“原函數(shù)圖象與其反函數(shù)圖象的交點是否在直線上”這個課題，我們可以分三步進行研究：

　　 (I)首先選取如下函數(shù)：

　　 ，，

　　 求出以上函數(shù)圖象與其反函數(shù)圖象的交點坐標(biāo)：

　　 與其反函數(shù)的交點坐標(biāo)為(－1，－1)

　　 與其反函數(shù)的交點坐標(biāo)為(0，0)，(1，1)

　　 與其反函數(shù)的交點坐標(biāo)為()，(－1，0)，(0，－1)

　　 (II)觀察分析上述結(jié)果得到研究結(jié)論；

　　 (III)對得到的結(jié)論進行證明。

　　 現(xiàn)在，請你完成(II)和(III)。

解：(II)原函數(shù)圖象與其反函數(shù)圖象的交點不一定在直線y＝x上　　　　　 2分

　　 (III)證明：設(shè)點(a，b)是的圖象與其反函數(shù)圖象的任一交點，由于原函數(shù)與反函數(shù)圖象關(guān)于直線y＝x對稱，則點(b，a)也是的圖象與其反函數(shù)圖象的交點，且有

　　

　　 若a＝b時，交點顯然在直線上

　　 若a<b且是增函數(shù)時，有，從而有b<a，矛盾；若b<a且是增函數(shù)時，有，從而有a<b，矛盾

　　 若a<b且是減函數(shù)，有，從而a<b成立，此時交點不在直線y＝x上；同理，b<a且是減函數(shù)時，交點也不在直線y＝x上。

　　 綜上所述，如果函數(shù)是增函數(shù)，并且的圖象與其反函數(shù)的圖象有交點，則交點一定在直線上；

　　 如果函數(shù)是減函數(shù)，并且的圖象與其反函數(shù)的圖象有交點，則交點不一定在直線y＝x上?！　　　　　　　　?　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 14分

12、設(shè)M是由滿足下列條件的函數(shù)構(gòu)成的集合：“①方程有實數(shù)根；②

函數(shù)的導(dǎo)數(shù)滿足.”

　 (I)判斷函數(shù)是否是集合M中的元素，并說明理由；

　 (II)集合M中的元素具有下面的性質(zhì)：若的定義域為D，則對于任意

[m，n]D，都存在[m，n]，使得等式成立”，

試用這一性質(zhì)證明：方程只有一個實數(shù)根；

　 (III)設(shè)是方程的實數(shù)根，求證：對于定義域中任意的.

解：(1)因為，…………2分　

　　　 所以滿足條件………………3分

　　　 又因為當(dāng)時，，所以方程有實數(shù)根0.

　　　 所以函數(shù)是集合M中的元素.…………4分

　　 (2)假設(shè)方程存在兩個實數(shù)根)，

　　　 則，………5分　 不妨設(shè)，根據(jù)題意存在數(shù)

　　　 使得等式成立，……………………7分

　　　 因為，所以，

　　　 與已知矛盾，所以方程只有一個實數(shù)根；…………9分

　　　 (3)不妨設(shè)，因為所以為增函數(shù)，所以，

　　　 又因為，所以函數(shù)為減函數(shù)，………………10分

　　　 所以，…………11分

　　　 所以，即…………12分

　　　 所以

…………………………13分

13、在算式“2×□+1×□=30”的兩個口中，分別填入兩個自然數(shù)，使它們的倒數(shù)之和最小，則這兩個數(shù)應(yīng)分別為　　　　　 和　　　　 .　 答案：9，12.

14、如圖為一幾何體的的展開圖，其中ABCD是邊長

為6的正方形，SD=PD＝6，CR=SC，AQ=AP，點S,

D,A,Q及P,D,C,R共線，沿圖中虛線將它們折疊起來，

使P，Q，R，S四點重合，則需要　　　　 個這樣的

幾何體，可以拼成一個棱長為6的正方體。　 答案：3

15、用水清洗一堆蔬菜上殘留的農(nóng)藥的效果假定如下：用x單位量的水清洗一次以后，蔬菜上殘留的農(nóng)藥量與這次清洗前殘留的農(nóng)藥量之比為．

(Ⅰ)試解釋的實際意義；

(Ⅱ)現(xiàn)有a(a＞0)單位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗兩次．哪種方案清洗后蔬菜上殘留的農(nóng)藥比較少？請說明理由．

答案：解：(I)f(0)=1．表示沒有用水清洗時，蔬菜上的農(nóng)藥量沒有變化．……………2＇

　 (Ⅱ)設(shè)清洗前蔬菜上的農(nóng)藥量為1，那么用a單位量的水清洗1次后．殘留的農(nóng)藥量為 W₁=1×f(a)=；……………………………………………………………………4＇

又如果用單位量的水清洗1次，殘留的農(nóng)藥量為1×f()=，

此后再用單位量的水清洗1次后，殘留的農(nóng)藥量為

W₂=.f()=[]²=．……………………………8＇

由于W₁－W₂=－=，………………………9＇

故當(dāng)a>2時，W₁>W₂，此時，把a單位量的水平均分成2份后，清洗兩次，殘留的農(nóng)藥量較少；當(dāng)a=2時，W₁=W₂，此時，兩種清洗方式效果相同；當(dāng)a<2時，W₁<W₂，此時，把a單位量的水清洗一次，殘留的農(nóng)藥量較少．…………………………12＇

16、直角坐標(biāo)系中橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點稱為格點，如果函數(shù)f(x)的圖象恰好通過k(k∈N*)個格點，則稱函數(shù)f(x)為k階格點函數(shù)。下列函數(shù)：

①　　 f(x)=sinx；　 ②f(x)=π(x－1)²+3；　 ③　 ④，

其中是一階格點函數(shù)的有　　　　　 　.　 答案：①②④

17、一水池有2個進水口,1個出水口,一個口進出水速度如圖甲、乙所示.某天0點到6點,

該水池的蓄水量如圖丙所示(至少打開一個水口),給出以下3個論斷：

　進水量　　　　　　　　　 出水量　 　　　　　　　　蓄水量

　

　 甲　　　　　　　　　　　 乙　　　　　　　　　　　 丙

(1)0點到3點只進水不出水；(2)3點到4點不進水只出水；(3)4點到6點不進水不

出水。則一定不確定的論斷是　　　　　 (把你認為是符合題意的論斷序號都填上)。

答案：(2)(3)

18、已知等比數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n.

　　 (Ⅰ)若S_m，S_m+2，S_m+1成等差數(shù)列，證明a_m，a_m+2，a_m+1成等差數(shù)列；

　　 (Ⅱ)寫出(Ⅰ)的逆命題，判斷它的真?zhèn)?，并給出證明.

　　 證 (Ⅰ) ∵S_m+1＝S_m+a_m+1，S_m+2＝S_m+a_m+1+a_m+2．

由已知2S_m+2＝S_m+S_m+1，∴ 2(S_m+a_m+1+a_m+2)＝S_m+(S_m+a_m+1)，

∴a_m+2＝－a_m+1，即數(shù)列{a_n}的公比q＝－.

　 　∴a_m+1＝－a_m，a_m+2＝a_m，∴2a_m+2＝a_m+a_m+1，∴a_m，a_m+2，a_m+1成等差數(shù)列.

　　 (Ⅱ) (Ⅰ)的逆命題是：若a_m，a_m+2，a_m+1成等差數(shù)列，則S_m，S_m+2，S_m+1成等差數(shù)列.

　　 設(shè)數(shù)列{a_n}的公比為q，∵a_m+1＝a_mq，a_m+2＝a_mq²．

由題設(shè)，2a_m+2＝a_m+a_m+1，即2a_mq²＝a_m+a_mq，即2q²－q－1＝0，∴q＝1或q＝－.

　　 當(dāng)q＝1時，A≠0，∴S_m， S_m+2， S_m+1不成等差數(shù)列.

逆命題為假.

19、2005年底，某地區(qū)經(jīng)濟調(diào)查隊對本地區(qū)居民收入情況進行抽樣調(diào)查，抽取1000戶，按

高收入 中等收入 低收入 125戶 400戶 475戶

本地區(qū)確定的標(biāo)準(zhǔn)，情況如右表：

本地區(qū)在“十一五”規(guī)劃中明確

提出要縮小貧富差距，到2010年

要實現(xiàn)一個美好的愿景，由右邊圓圖顯示，則中等收入家庭的數(shù)

量在原有的基礎(chǔ)要增加的百分比和低收入家庭的數(shù)量在原有的基

礎(chǔ)要降低的百分比分別為　　　　　　　　　　　　 (　 B　　 )

A．25% , 27.5%　　 B．62.5% , 57.9%　　 C．25% , 57.9%　　 D．62.5%,42.1%

20、一個三位數(shù)abc稱為“凹數(shù)”，如果該三位數(shù)同時滿足a＞b且b＜c，那么所有不同的三位“凹數(shù)”的個數(shù)是_____________________．

答案：三位“凹數(shù)”可分兩類：一類是aba，共有＝45，另一類是abc，a≠c，共有2＝240，故共有45+240＝285個

21、定義運算　，若復(fù)數(shù)，，則　 。答案：-4

22、從裝有個球(其中個白球，1個黑球)的口袋中取出個球,共有種取法。在這種取法中，可以分成兩類：一類是取出的個球全部為白球，共有，即有等式：成立。試根據(jù)上述思想化簡下列式子：　　　　　　 。。

答案：　 根據(jù)題中的信息，可以把左邊的式子歸納為從個球(n個白球，k個黑球)中取出m個球，可分為：沒有黑球，一個黑球，……，k個黑球等類，故有種取法。

23、定義運算x※y=，若|m－1|※m=|m－1|，則m的取值范圍是　　　　　

24、在公差為的等差數(shù)列中，若是的前項和，則數(shù)列也成等差數(shù)列，且公差為，類比上述結(jié)論，相應(yīng)地在公比為的等比數(shù)列中，若是數(shù)列的前項積，則有＝ 　。

25、考察下列一組不等式：　 將上述不等式在左右兩端仍為兩項和的情況下加以推廣，使以上的不等式成為推廣不等式的特例，則推廣的不等式為

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

26、對任意實數(shù)，定義運算，其中為常數(shù)，等號右邊的運算是通常意義的加、乘運算。現(xiàn)已知，且有一個非零實數(shù)，使得對任意實數(shù)，都有，則　　。

27、對于任意實數(shù)，符號[]表示的整數(shù)部分，即[]是不超過的最大整數(shù)”。在實數(shù)軸R(箭頭向右)上[]是在點左側(cè)的第一個整數(shù)點，當(dāng)是整數(shù)時[]就是。這個函數(shù)[]叫做“取整函數(shù)”，它在數(shù)學(xué)本身和生產(chǎn)實踐中有廣泛的應(yīng)用。那么=___________________8204

28、我國男足運動員轉(zhuǎn)會至海外俱樂部常會成為體育媒體關(guān)注的熱點新聞。05年8月，在上海申花俱樂部隊員杜威確認轉(zhuǎn)會至蘇超凱爾特人俱樂部之前，各種媒體就兩俱樂部對于杜威的轉(zhuǎn)會費協(xié)商過程紛紛“爆料”：

媒體A：“……, 凱爾特人俱樂部出價已從80萬英鎊提高到了120萬歐元?！?/p>

媒體B：“……, 凱爾特人俱樂部出價從120萬歐元提高到了100萬美元，同

時增加了不少附加條件。”

媒體C：“……, 凱爾特人俱樂部出價從130萬美元提高到了120萬歐元。”

請根據(jù)表中提供的匯率信息(由于短時間內(nèi)國際貨幣的匯率變化不大，我們假定比值為定值)，我們可以發(fā)現(xiàn)只有媒體 (填入媒體的字母編號)的報道真實性強一些。

　

29、已知二次函數(shù)同時滿足：①不等式的解集有且只有一個元素；②在定義域內(nèi)存在，使得不等式成立。

　　 設(shè)數(shù)列的前項和，

(1)求數(shù)列的通項公式；

(2)試構(gòu)造一個數(shù)列，(寫出的一個通項公式)滿足：對任意的正整數(shù)都有，且，并說明理由；

(3)設(shè)各項均不為零的數(shù)列中，所有滿足的正整數(shù)的個數(shù)稱為這個數(shù)列的變號數(shù)。令(為正整數(shù))，求數(shù)列的變號數(shù)。

解：(1)∵的解集有且只有一個元素，∴，

　　 當(dāng)時，函數(shù)在上遞增，故不存在，使得不等式成立。

　　 當(dāng)時，函數(shù)在上遞減，故存在，使得不等式成立。

　　 綜上，得，，∴，

∴

　 (2)要使，可構(gòu)造數(shù)列，∵對任意的正整數(shù)都有，

　　　 ∴當(dāng)時，恒成立，即恒成立，即，

　　　 又，∴，∴，等等。

　 (3)解法一：由題設(shè)，

∵時，，∴時，數(shù)列遞增，

∵，由，可知，即時，有且只有個變號數(shù)；

又∵，即，∴此處變號數(shù)有個。

綜上得 數(shù)列共有個變號數(shù)，即變號數(shù)為。

解法二：由題設(shè)，

　　　 時，令；

　　　 又∵，∴時也有。

綜上得 數(shù)列共有個變號數(shù)，即變號數(shù)為。

30、在R上定義運算△：x△y=x(1 -y) 若不等式(x-a)△(x+a)<1,對任意實數(shù)x恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是　　 。

31、已知之間滿足　

(1)方程表示的曲線經(jīng)過一點，求b的值

(2)動點(x,y)在曲線(b>0)上變化，求x²+2y的最大值；

(3)由能否確定一個函數(shù)關(guān)系式，如能，求解析式；如不能，再加什么條件就可使之間建立函數(shù)關(guān)系，并求出解析式。

解：(1)　　　　　　　　　　　 (4分)

(2)根據(jù)得　　　　　　　　 (5分)

　　　　　 (7分)

　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(10分)

(2)不能　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(11分)

　 如再加條件就可使之間建立函數(shù)關(guān)系　　　　　　 (12分)

解析式　　　　　　　　　　　　　　　 (14分)

(不唯一，也可其它答案)

32、用錘子以均勻的力敲擊鐵釘入木板。隨著鐵釘?shù)纳钊?，鐵釘所受的阻力會越來越大，使得每次釘入木板的釘子長度后一次為前一次的。已知一個鐵釘受擊次后全部進入木板，且第一次受擊后進入木板部分的鐵釘長度是釘長的，請從這個實事中提煉出一個不等式組是 　。

33、已知，記，(其中)，例如：

　　 。設(shè)，且滿足，則有序數(shù)組

是 　?！?

34、(12′=9′+3′)(理)設(shè)表示冪函數(shù)在上是增函數(shù)的的集合；表示不等式　 對任意恒成立的的集合。(1)求；(2)試寫出一個解集為的不等式。

(文)設(shè)表示冪函數(shù)在上是增函數(shù)的的集合；表示不等式對任意恒成立的的集合。(1)求；(2)試寫出一個解集為的不等式。

解：(理)(1)∵冪函數(shù)在上是增函數(shù)，∴，即，

　　　　　　 又不等式對任意恒成立，∴，即，

　 　　　　　∴　。

　　　　 (2)一個解集為的不等式可以是 　。

　 (文)(1)∵冪函數(shù)在上是增函數(shù)，∴，即，

　　　　　　　　 又不等式對任意恒成立，∴，即，

　　　　　　 ∴　。

　　　　 (2)一個解集為的不等式可以是 　。

35、(理)已知為正常數(shù)。

　 (1)可以證明：定理“若、，則(當(dāng)且僅當(dāng)時取等號)”推廣到三個正數(shù)時結(jié)論是正確的，試寫出推廣后的結(jié)論(無需證明)；

　 (2)若在上恒成立，且函數(shù)的最大值大于，求實數(shù)的取值范圍，并由此猜測的單調(diào)性(無需證明)；

　 (3)對滿足(2)的條件的一個常數(shù)，設(shè)時，取得最大值。試構(gòu)造一個定義在上的函數(shù)，使當(dāng)時，，當(dāng)時，取得最大值的自變量的值構(gòu)成以為首項的等差數(shù)列。

解：(1)若、、，則(當(dāng)且僅當(dāng)時取等號)。

　 (2)在上恒成立，即在上恒成立，

∵，∴，即，

又∵

∴，即時，

，

又∵，∴。　　　　　 綜上，得　。

　 易知，是奇函數(shù)，∵時，函數(shù)有最大值，∴時，函數(shù)有最小值。

故猜測：時，單調(diào)遞減；時，單調(diào)遞增。

(3)依題意，只需構(gòu)造以為周期的周期函數(shù)即可。

　　 如對，，此時，

　 即 　。

(文)已知函數(shù)，，

(Ⅰ)當(dāng)時，若在上單調(diào)遞增，求的取值范圍；

(Ⅱ)求滿足下列條件的所有實數(shù)對：當(dāng)是整數(shù)時，存在，使得是的最大值，是的最小值；

(Ⅲ)對滿足(Ⅱ)的條件的一個實數(shù)對，試構(gòu)造一個定義在，且上的函數(shù)，使當(dāng)時，，當(dāng)時，取得最大值的自變量的值構(gòu)成以為首項的等差數(shù)列。

解：(Ⅰ)當(dāng)時，，

若，，則在上單調(diào)遞減，不符題意。

故，要使在上單調(diào)遞增，必須滿足　，∴　。

(Ⅱ)若，，則無最大值，故，∴為二次函數(shù)，

要使有最大值，必須滿足，即且，

此時，時，有最大值。

又取最小值時，，依題意，有，則，

∵且，∴，得，此時或。

∴滿足條件的實數(shù)對是。

(Ⅲ)當(dāng)實數(shù)對是時，

依題意，只需構(gòu)造以2(或2的正整數(shù)倍)為周期的周期函數(shù)即可。

如對，，

此時，，

故。

36、有窮數(shù)列{a_n}，S_n為其前n項和，定義為數(shù)列{a_n}的“凱森和”，

　　 如果有99項的數(shù)列a₁、a₂、a₃、…、a₉₉的“凱森和”為1000，則有100項的數(shù)列

1、a₁、a₂、a₃、a₄、…a₉₉的“凱森和”= 　991　 　。

38、已知兩個向量，　.

(1)若t=1且，求實數(shù)x的值；

(2)對tÎR寫出函數(shù)具備的性質(zhì).

解：(1)由已知得　　　　　　　　　　　　　　　　 ……2分

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……4分

解得，或　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　……6分

(2)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……8分

具備的性質(zhì)：

①偶函數(shù)；

②當(dāng)即時，取得最小值(寫出值域為也可)；

③單調(diào)性：在上遞減，上遞增；由對稱性，在上遞增，在遞減　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……14分

說明：寫出一個性質(zhì)得3分，寫出兩個性質(zhì)得5分，寫出三個性質(zhì)得6分，包括寫出函數(shù)的零點(，)等皆可。寫出函數(shù)的定義域不得分，寫錯扣1分

39、對于集合N={1, 2, 3,…, n}及其它的每一個非空子集，定義一個“交替和”如下：按照遞減的次序重新排列該子集，然后從最大數(shù)開始交替地減、加后繼的數(shù)。例如集合{1, 2, 4, 6, 9}的交替和是9–6+4–2+1＝6，集合{5}的交替和為5。當(dāng)集合N中的n=2時，集合N={1, 2}的所有非空子集為{1}，{2}，{1, 2}，則它的“交替和”的總和S₂=1+2+(2–1)=4，請你嘗試對n=3、n=4的情況，計算它的“交替和”的總和S₃、S₄，并根據(jù)其結(jié)果猜測集合N={1, 2, 3,…, n}的每一個非空子集的“交替和”的總和S_n=　　　　 n .2^n–1　　　　　 。(不必給出證明)

40、若AB是過二次曲線中心的任一條弦，M是二次曲線上異于A、B的任一點，且AM、BM均與坐標(biāo)軸不平行，則對于橢圓有。類似地，對于雙曲線有=　　　　 　。

41、已知

(1), 求的最小值

(2)P、Q關(guān)于點(1，2)對稱，若點P在曲線C上移動時，點Q的軌跡是函數(shù)的圖象，求曲線C的軌跡方程。

(3)在中學(xué)數(shù)學(xué)中，從特殊到一般，從具體到抽象是常見的一種思維形式。如從可抽象出的性質(zhì)，試分別寫出一個具體的函數(shù)，抽象出下列相應(yīng)的性質(zhì)

由　　　　 可抽象出

由　　　　 可抽象出

(1) …………3’

等號當(dāng)x=2時成立，　…………………………4’

(2)設(shè)P(x,y)則Q(2-x,4-y)………………………………………………5’

由4－y=lg(2－x)可得：y=4－lg(2－x)………………………………8’

(3) h(x)=_______y=2^x等_______, 9’　　 φ(x)=____y=lgx等__11’

42、已知函數(shù)的最大值為正實數(shù)，集合

，集合。

(1)求和；

(2)定義與的差集：且。

設(shè)，，均為整數(shù)，且。為取自的概率，為取自的概率，寫出與的二組值，使，。

(3)若函數(shù)中，，　是(2)中較大的一組，試寫出在區(qū)間[,n]上的最大值函數(shù)的表達式。

答案：(1)∵，配方得，由得最大值。……………………………………………………………3分

　　　　 ∴，?！?分

　 (2)要使，。可以使①中有3個元素，中有2個元素， 中有1個元素。則?！?分

②中有6個元素，中有4個元素， 中有2個元素。則…………………………………………………………………………12分

(3)由(2)知…………………………13分

　 ………………………………………………18分

43、在數(shù)學(xué)拓展課上，老師規(guī)定了一種運算:a*b=　,例如：1*2=1，3*2=2，則函數(shù)的值域為。

44、已知點列B₁(1,y₁)、B₂(2,y₂)、…、B_n(n,y_n)(n∈N)

　　 順次為一次函數(shù)圖象上的點，

　 點列A₁(x₁,0)、A₂(x₂,0)、…、A_n(x_n,0)(n∈N)

　　 順次為x軸正半軸上的點，其中x₁=a(0＜a＜1)，

　　 對于任意n∈N，點A_n、B_n、A_n+1構(gòu)成以

　　 B_n為頂點的等腰三角形。

⑴求{y_n}的通項公式，且證明{y_n}是等差數(shù)列；

⑵試判斷x_n+2-x_n是否為同一常數(shù)(不必證明)，并求出數(shù)列{x_n}的通項公式；

　　 ⑶在上述等腰三角形A_nB_nA_n+1中，是否存在直角三角形？若有，求出此時a值；若不存在， 請說明理由。

解：(1)(nÎN),y_n+1-y_n=,∴{y_n}為等差數(shù)列 (4¢)

　 (2)x_n+1-x_n=2為常數(shù) (6¢) ∴x₁,x₃,x₅,…,x_2n-1及x₂,x₄,x_6,,…，x_2n都是公差為2的等差數(shù)列，

　　　　 ∴x_2n-1=x₁+2(n-1)=2n-2+a，x_2n=x₂+2(n-1)=2-a+2n-2=2n-a，

　　　　 ∴x_n=　 (10¢)

　 (3)要使A_nB_nA_n+1為直角三形，則 |A_nA_n+1|=2=2()Þx_n+1-x_n=2()

　　　　 當(dāng)n為奇數(shù)時，x_n+1=n+1-a，x_n=n+a-1,∴x_n+1-x_n=2(1-a).

　　　　 Þ2(1-a)=2() Þa=(n為奇數(shù)，0＜a＜1)　 (*)

　　　　 取n=1，得a=，取n=3，得a=，若n≥5，則(*)無解； (14¢)

　　　　 當(dāng)偶數(shù)時，x_n+1=n+a，x_n=n-a，∴x_n+1-x_n=2a.

　　　　 ∴2a=2()Þa=(n為偶數(shù)，0＜a＜1)　 (*¢)，取n=2，得a=,

　　　　 若n≥4，則(*¢)無解.

　　　　 綜上可知，存在直角三形，此時a的值為、、. (18¢)

45、⑴證明：當(dāng)a＞1時，不等式成立。

⑵要使上述不等式成立，能否將條件“a＞1”適當(dāng)放寬？若能，請放寬條件并簡述理由；若不能，也請說明理由。

　　 ⑶請你根據(jù)⑴、⑵的證明，試寫出一個類似的更為一般的結(jié)論，且給予證明。

解：(1)證：,∵a＞1，∴＞0，

　　　　　 ∴原不等式成立 (6¢)

　 (2)∵a-1與a⁵-1同號對任何a＞0且a¹1恒成立，∴上述不等式的條件可放寬

　　　　 為a＞0且a¹1 (9¢)

　 (3)根據(jù)(1)(2)的證明，可推知：若a＞0且a¹1，m＞n＞0，則有(12¢)

　　　 證：左式-右式=　(14¢)

　　　 若a＞1，則由m＞n＞0Þa^m-n＞0,a^m+n＞0Þ不等式成立；

　　　 若0＜a＜1，則由m＞n＞0Þ0＜a^m-n＜1, 0＜a^m+n＜1Þ不等式成立.(16¢)

46、為了保證信息安全傳輸，有一種稱為秘密密鑰密碼系統(tǒng)，其加密、解密原理如下圖：

　　　　

　　 明文　　　　　　　　　　 密文　　　　　　 密文　　　　　　　　 明文，

　　 現(xiàn)在加密密鑰為y=log_a(x+2)，如下所示：明文“6”通過加密后得到密文“3”，

　　 再發(fā)送，接受方通過解密密鑰解密得明文“6”，問“接受方接到密文”4“，則解密

　　 后得到明文為 　　14　　 　。

47、規(guī)定a△b=，a, b，若1△k=3，則函數(shù)f(x)=k△x的值域為 　(1,+¥ )　 　

48、同學(xué)們都知道，在一次考試后，如果按順序去掉一些高分，那么班級的平均分將降低；

　 反之，如果按順序去掉一些低分，那么班級的平均分將提高. 這兩個事實可以用數(shù)學(xué)語

　 言描述為：若有限數(shù)列　滿足，則　　　　　　　　　　

　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(結(jié)論用數(shù)學(xué)式子表示).

和

49、已知數(shù)列，其中是首項為1，公差為1的等差數(shù)列；是公差為的等差數(shù)列；是公差為的等差數(shù)列().

(1)若，求；

(2)試寫出關(guān)于的關(guān)系式，并求的取值范圍；

(3)續(xù)寫已知數(shù)列，使得是公差為的等差數(shù)列，……，依次類推，把已知數(shù)列推廣為無窮數(shù)列. 提出同(2)類似的問題((2)應(yīng)當(dāng)作為特例)，并進行研究，你能得到什么樣的結(jié)論？

[解](1).　　　　　　　　　　　 …… 4分

　 (2)，　　　　　　　　　　　　 …… 8分

　　 ，

　　 當(dāng)時，.　　　　　　　　　　 …… 12分

　 (3)所給數(shù)列可推廣為無窮數(shù)列，其中是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，當(dāng)時，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列.　　　 …… 14分

研究的問題可以是：試寫出關(guān)于的關(guān)系式，并求的取值范圍.…… 16分

研究的結(jié)論可以是：由，

　　 依次類推可得　

　　 當(dāng)時，的取值范圍為等.　　　　　　　　　　　　 …… 18分

50、定義一種運算“*”，對于，滿足以下運算性質(zhì)：

① ；② 。則的數(shù)值為_____3004_____。

　

51、已知命題：平面上一矩形的對角線與邊和

　　 所成角分別為，則。若把它推廣到空

　　 間長方體中，試寫出相應(yīng)的命題形式：____________________

　　 _____________________________________________________。

長方體中，對角線與棱所成的角分別為，則，?；蚴牵洪L方體中，對角線與平面所成的角分別為，則，?；蚴牵洪L方體中，對角面與平面所成的二面角分別為，則。

52、如果一個數(shù)列的各項都是實數(shù)，且從第二項開始，每一項與它前一項的平方差是相同的常數(shù)，則稱該數(shù)列為等方差數(shù)列，這個常數(shù)叫這個數(shù)列的公方差． (1)設(shè)數(shù)列是公方差為的等方差數(shù)列，求和的關(guān)系式； (2)若數(shù)列既是等方差數(shù)列，又是等差數(shù)列，證明該數(shù)列為常數(shù)列； (3) 設(shè)數(shù)列是首項為，公方差為的等方差數(shù)列，若將這種順

序的排列作為某種密碼，求這種密碼的個數(shù)．

(1)解：由等方差數(shù)列的定義可知：………………5分

(2)證法一：∵是等差數(shù)列，設(shè)公差為，則 又是等方差數(shù)列，∴………………………………7分 ∴ 即，　 …………………………………10分 ∴，即是常數(shù)列．…………………………………………………11分 證法二：∵是等差數(shù)列，設(shè)公差為，則……1 又是等方差數(shù)列，設(shè)公方差為，則……2…………7分 1代入2得，……3 　　 同理有，……4 兩式相減得：即，…………………………………10分 ∴，即是常數(shù)列．………………………………………………11分

證法三：(接證法二1、2)

由1、2得出：若，則是常數(shù)列　　 …………………8分

若， 則　 是常數(shù),　 ∴，矛盾…………10分

∴　　 是常數(shù)列．　　　　　　　　　　　 …………………11分 (3)依題意， ，

， 　　 ∴，或，　　　 ……………………………13分 　 即該密碼的第一個數(shù)確定的方法數(shù)是，其余每個數(shù)都有“正”或“負”兩種

確定方法，當(dāng)每個數(shù)確定下來時，密碼就確定了，即確定密碼的方法數(shù)是種， 故，這種密碼共種．…………………………………………………16分

53、已知函數(shù)，當(dāng)點在的圖像上移動時，

點在函數(shù)的圖像上移動．

(1) 若點P坐標(biāo)為()，點Q也在的圖像上，求的值；

(2) 求函數(shù)的解析式；

(3) 當(dāng)時，試探求一個函數(shù)使得在限定定義域為

時有最小值而沒有最大值．

解：(1)當(dāng)點坐標(biāo)為()，點的坐標(biāo)為，…………2分 ∵點也在的圖像上，∴，即．……5分

(根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求得，請相應(yīng)給分) (2)設(shè)在的圖像上 則，即　　 ……………………………………8分 而在的圖像上，∴ 代入得，為所求．…………………………………11分

(3)；或　 等．　　 …………………15分 如：當(dāng)時，

∵在單調(diào)遞減，　 ∴　　 故 ， 即有最小值，但沒有最大值．………………………18分

(其他答案請相應(yīng)給分)

(參考思路)在探求時，要考慮以下因素：①在上必須有意義(否則不能參加與的和運算)；②由于和都是以為底的對數(shù)，所以構(gòu)造的函數(shù)可以是以為底的對數(shù)，這樣與和進行的運算轉(zhuǎn)化為真數(shù)的乘積運算；③以為底的對數(shù)是減函數(shù)，只有當(dāng)真數(shù)取到最大值時，對數(shù)值才能取到最小值；④為方便起見，可以考慮通過乘積消去；⑤乘積的結(jié)果可以是的二次函數(shù)，該二次函數(shù)的圖像的對稱軸應(yīng)在直線的左側(cè)(否則真數(shù)會有最小值，對數(shù)就有最大值了)，考慮到該二次函數(shù)的圖像與軸已有了一個公共點，故對稱軸又應(yīng)該是軸或在軸的右側(cè)(否則該二次函數(shù)的值在上的值不能恒為正數(shù))，即若拋物線與軸的另一個公共點是，則，且拋物線開口向下．

54、如圖，一個計算裝置有兩個數(shù)據(jù)輸入口Ⅰ、Ⅱ與一個運算結(jié)果輸出口Ⅲ，當(dāng)Ⅰ、Ⅱ分別輸入正整數(shù)時，輸出結(jié)果記為，且計算裝置運算原理如下：

①　　 若Ⅰ、Ⅱ分別輸入1，則；②若Ⅰ輸入固定的正整數(shù)，

Ⅱ輸入的正整數(shù)增大1，則輸出結(jié)果比原來增大3；③若Ⅱ輸入1，

Ⅰ輸入正整數(shù)增大1，則輸出結(jié)果為原來3倍。

　　 試求：

　　 (1)的表達式；(2)的表達式；

　　 (3)若Ⅰ、Ⅱ都輸入正整數(shù)，則輸出結(jié)果能否為2005？

若能，求出相應(yīng)的；若不能，則請說明理由。

解：(1)

　 (2)

　 (3)　，∵，

　　　 　∴輸出結(jié)果不可能為。

55、對數(shù)列，規(guī)定為數(shù)列的一階差分數(shù)列，其中。

　　 對自然數(shù)，規(guī)定為的階差分數(shù)列，其中。

　 (1)已知數(shù)列的通項公式，試判斷，是否為等差或等比數(shù)列，為什么？

　 (2)若數(shù)列首項，且滿足，求數(shù)列的通項公式。

　 (3)對(2)中數(shù)列，是否存在等差數(shù)列，使得對一切自然都成立？若存在，求數(shù)列的通項公式；若不存在，則請說明理由。

　 解：(1)，∴是首項為4，公差為2的等差數(shù)列。

　　　　

∴是首項為2，公差為0的等差數(shù)列；也是首項為2，公比為1的等比數(shù)列。

　　 (2)，即，即，∴

　　　　 ∵，∴，，，猜想：

　　　　 證明：ⅰ)當(dāng)時，；

　　　　　　　 ⅱ)假設(shè)時，

　　　　　　　　　 時，　結(jié)論也成立

　　　　　　　 ∴由ⅰ)、ⅱ)可知，

　 　　(3)，即

　　　　 　∵

　　　　　 ∴存在等差數(shù)列，，使得對一切自然都成立。

56、對于在區(qū)間[m，n]上有意義的兩個函數(shù)f (x)與g (x)，如果對任意x∈[m，n]均有| f (x) – g (x) |≤1，則稱f (x)與g (x)在[m，n]上是接近的，否則稱f (x)與g (x)在[m，n]上是非接近的，現(xiàn)有兩個函數(shù)f ₁(x) = log_a(x – 3a)與f ₂ (x) = log_a(a > 0，a≠1)，給定區(qū)間[a + 2，a + 3]．

　 (1)若f ₁(x)與f ₂ (x)在給定區(qū)間[a + 2，a + 3]上都有意義，求a的取值范圍；

　 (2)討論f ₁(x)與f ₂ (x)在給定區(qū)間[a + 2，a + 3]上是否是接近的？

解：(1)要使f ₁ (x)與f ₂ (x)有意義，則有

　　　

　　　 要使f ₁ (x)與f ₂ (x)在給定區(qū)間[a + 2，a + 3]上有意義，

等價于真數(shù)的最小值大于0

即

　 (2)f ₁ (x)與f ₂ (x)在給定區(qū)間[a + 2，a + 3]上是接近的

| f ₁ (x) – f ₂ (x)|≤1

≤1

|log_a[(x – 3a)(x – a)]|≤1

a≤(x – 2a)² – a²≤

對于任意x∈[a + 2，a + 3]恒成立

設(shè)h(x) = (x – 2a)² – a²，x∈[a + 2，a + 3]

且其對稱軸x = 2a < 2在區(qū)間[a + 2，a + 3]的左邊

當(dāng)時

f ₁ (x)與f ₂ (x)在給定區(qū)間[a + 2，a + 3]上是接近的

當(dāng)< a < 1時，f ₁ (x)與f ₂ (x)在給定區(qū)間[a + 2，a + 3]上是非接近的．

57、已知是定義在－∞，+∞上的函數(shù)，∈－∞，+∞，請給出能使命題：“若+1＞0，則+＞+”成立的一個充分條件：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　．

已知是定義在－∞，+∞上的函數(shù)，∈－∞，+∞，請給出能使命題：“若+1＞0，則+＞+”成立的一個充分條件：_______.

答案： 函數(shù)在－∞，+∞上單調(diào)遞增(或＝+(＞0)等)　　 ．

58、歌德巴赫(Goldbach．C．德．1690-1764)曾研究過“所有形如(，為正整數(shù))的分數(shù)之和”問題．為了便于表述，引入記號：

＝++┅

++┅

寫出你對此問題的研究結(jié)論：　 ＝1　 　(用數(shù)學(xué)符號表示)．

59、集合P＝1，3，5，7，9，┅，2－1，┅∈N，若∈P，∈P時，

　 ∈P，則運算　 可能是(　 D　 )

(A)加法；　 (B)除法；　 (C)減法；　 (D)乘法．

60、，，┅，，，，┅，分別表示實數(shù)，，┅，中的最小者和最大者．

(1)作出函數(shù)＝｜+3｜+2｜－1｜(∈R)的圖像；

(2)在求函數(shù)＝｜+3｜+2｜－1｜(∈R)的最小值時，有如下結(jié)論：

＝，＝4．請說明此結(jié)論成立的理由；

(3)仿照(2)中的結(jié)論，討論當(dāng)，，┅，為實數(shù)時，

函數(shù)＝++┅+∈R，＜＜┅＜∈R的最值．

解：(1)圖略；

(2)當(dāng)∈(－∞，－3)時，是減函數(shù)，

當(dāng)∈－3，1)時，是減函數(shù)，

當(dāng)∈1，+∞)時，是增函數(shù)，

∴＝，＝4．

(3)當(dāng)++┅+＜0時，＝，，┅，；

當(dāng)++┅+＞0時，＝，，┅，；

當(dāng)++┅+＝0時，＝，，

＝，．

61、在4×□+9×□=60的兩個□中，分別填入兩自然數(shù)，使它們的倒數(shù)和最小，應(yīng)分別填上　　　　　 和　　　　　 　。

答案：設(shè)兩數(shù)為x、y，即4x+9y=60，又=　≥，等于當(dāng)且僅當(dāng)，且4x+9y=60，即x=6且y=4時成立，故應(yīng)分別有6、4。

62、我們把平面內(nèi)兩條相交但不垂直的數(shù)軸構(gòu)成的坐標(biāo)系(兩條數(shù)軸的原點重合且單位長度相同)稱為斜坐標(biāo)系．平面上任意一點P的斜坐標(biāo)定義為：若(其中、分別為斜坐標(biāo)系的x軸、y軸正方向上的單位向量，x、y∈R)，則點P的斜坐標(biāo)為(x, y).在平面斜坐標(biāo)系xoy中，若，已知點M的斜坐標(biāo)為 (1, 2)，則點M到原點O的距離為　　　　　 .

63、定義運算符號：“”，這個符號表示若干個數(shù)相乘，例如：可將1×2×3×…×n記作，，其中a_i為數(shù)列中的第i項.

①若，則T₄=　　　　　 ；105；

②若　　　　　　　　 .

64、如圖2,在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中,M、N、P分別為棱AB、BC、DD₁的中點.

　(1)求二面角B₁-MN-B的正切值；

(2)證明：PB⊥平面B₁MN；

(3)畫出該正方體表面展開圖，使其滿足“有4個正方形連成一個長方形”的條件.

符合條件的正方體表面展開圖可以是以下6種情況之一.

答案：

65、為了了解“預(yù)防禽流感疫苗”的使用情況，溫州市衛(wèi)生部門對本地區(qū)9月份至11月份使用疫苗的所有養(yǎng)雞場進行了調(diào)查，根據(jù)下列圖表提供的信息，可以得出這三個月本地區(qū)每月注射了疫苗的雞的數(shù)量平均為　 90　 萬只．

	月份 養(yǎng)雞場(個數(shù)) 9 20 10 50 11 100

　

66、將側(cè)棱相互垂直的三棱錐稱為“直角三棱錐”，三棱錐的側(cè)面和底面分別叫為直角三棱錐的“直角面和斜面”；過三棱錐頂點及斜面任兩邊中點的截面均稱為斜面的“中面”.請仿照直角三角形以下性質(zhì)：

(1)斜邊的中線長等于斜邊邊長的一半；

(2)兩條直角邊邊長的平方和等于斜邊邊長的平方；

(3)斜邊與兩條直角邊所成角的余弦平方和等于1.

　　 寫出直角三棱錐相應(yīng)性質(zhì)(至少一條)：　　　　　　　 .

答案：(1) 斜面的中面面積等于斜面面積的四分之一；

(2)三個直角面面積的平方和等于斜面面積的平方；

(3)斜面與三個直角面所成二面角的余弦平方和等于1.

67、定義：若存在常數(shù)，使得對定義域內(nèi)的任意兩個，均有成立，則稱函數(shù)在定義域上滿足利普希茨條件。若函數(shù)滿足利普希茨條件，則常數(shù)的最小值為 　。

68、已知函數(shù)y=f(x)滿足f(a-tanθ)=cotθ-1，(其中，a、θ∈R均為常數(shù))

(1)求函數(shù)y=f(x)的解析式；

(2)利用函數(shù)y=f(x)構(gòu)造一個數(shù)列{x_n}，方法如下：

對于給定的定義域中的x₁，令x₂= f(x₁)，x₃= f(x₂)，…，x_n= f(x_n-1)，…

在上述構(gòu)造過程中，如果x_i(i=1,2,3,…)在定義域中，構(gòu)造數(shù)列的過程繼續(xù)下去；如果x_i不在定義域中，則構(gòu)造數(shù)列的過程停止.

①　　 如果可以用上述方法構(gòu)造出一個常數(shù)列{x_n}，求a的取值范圍；

②　　 如果取定義域中的任一值作為x₁，都可以用上述方法構(gòu)造出一個無窮數(shù)列{x_n}，求a實數(shù)的值.

解：(1)令　 則

　　　　 ①×②，并整理，得 y=，

　　　　 ∴y=f(x) =， (x≠a). 　　　　　　　　　………………………………4分

(2)①根據(jù)題意，只需當(dāng)x≠a時，方程f(x) =x有解，

亦即方程　 x²+(1-a)x+1-a=0 有不等于的解.

　　　　 將x=a代入方程左邊，得左邊為1，故方程不可能有解x=a.

　　　　 由 △=(1-a)²-4(1-a)≥0，得 a≤-3或a≥1，

即實數(shù)a的取值范圍是.　　　　　　 …………………………9分

②根據(jù)題意，=a在R中無解，

亦即當(dāng)x≠a時，方程(1+a)x=a²+a-1無實數(shù)解.

由于x=a不是方程(1+a)x=a²+a-1的解，

所以對于任意x∈R，方程(1+a)x=a²+a-1無實數(shù)解，

∴ a= -1即為所求a的值.　　　　　　　 ……………………………………14分

69、已知x>0，由不等式≥2.=2，=≥=3,

…，啟發(fā)我們可以得出推廣結(jié)論：≥n+1 (n∈N^*)，則a=_________ nⁿ ______．

70、已知存在實數(shù)(其中)使得函數(shù)是奇函數(shù)，且在上是增函數(shù)。

(1)試用觀察法猜出兩組與的值，并驗證其符合題意；

(2)求出所有符合題意的與的值。

解：(1)猜想：或；--------------------------------4分

由知，而為奇函數(shù)且在上是增函數(shù)。-------------------------------------------------------------------------6分

由知，而為奇函數(shù)且在上是增函數(shù)。-------------------------------------------------------------------------------------------8分

(2)由為奇函數(shù)，有

所以，又，

解得。-----------------------------------------------------------------------------10分

當(dāng)時，為奇函數(shù)，由于在上是增函數(shù)，所以，由，又在上是增函數(shù)，故有，且或，故。----------------------------------------------------------------------------12分

當(dāng)時，為奇函數(shù)，由于在上是增函數(shù)，所以，由，又在上是增函數(shù)，故有，且或2，故　 ------------------------------------------------------------14分

所以所有符合題意的與的值為：

或--------------------------------------16分