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29、已知二次函數(shù)同時(shí)滿足:①不等式的解集有且只有一個(gè)元素;②在定義域內(nèi)存在,使得不等式成立。
設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和,
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)試構(gòu)造一個(gè)數(shù)列,(寫出的一個(gè)通項(xiàng)公式)滿足:對(duì)任意的正整數(shù)都有,且,并說明理由;
(3)設(shè)各項(xiàng)均不為零的數(shù)列中,所有滿足的正整數(shù)的個(gè)數(shù)稱為這個(gè)數(shù)列的變號(hào)數(shù)。令(為正整數(shù)),求數(shù)列的變號(hào)數(shù)。
解:(1)∵的解集有且只有一個(gè)元素,∴,
當(dāng)時(shí),函數(shù)在上遞增,故不存在,使得不等式成立。
當(dāng)時(shí),函數(shù)在上遞減,故存在,使得不等式成立。
綜上,得,,∴,
∴
(2)要使,可構(gòu)造數(shù)列,∵對(duì)任意的正整數(shù)都有,
∴當(dāng)時(shí),恒成立,即恒成立,即,
又,∴,∴,等等。
(3)解法一:由題設(shè),
∵時(shí),,∴時(shí),數(shù)列遞增,
∵,由,可知,即時(shí),有且只有個(gè)變號(hào)數(shù);
又∵,即,∴此處變號(hào)數(shù)有個(gè)。
綜上得 數(shù)列共有個(gè)變號(hào)數(shù),即變號(hào)數(shù)為。
解法二:由題設(shè),
時(shí),令;
又∵,∴時(shí)也有。
綜上得 數(shù)列共有個(gè)變號(hào)數(shù),即變號(hào)數(shù)為。
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