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12.
(重慶文6)
下列各式中,值為的是( )
A. B.
C. D.
B
(安徽理16)
已知為的最小正周期, ,且.求的值.
本小題主要考查周期函數(shù)、平面向量數(shù)量積與三角函數(shù)基本關(guān)系式,考查運(yùn)算能力和推理能力.本小題滿分12分.
解:因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/383995_1/image183.gif">為的最小正周期,故.
因,又.
故.
由于,所以
(安徽文20)
設(shè)函數(shù),,
其中,將的最小值記為.
(I)求的表達(dá)式;
(II)討論在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性并求極值.
本小題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系,倍角的正弦公式,正弦函數(shù)的值域,多項(xiàng)式函數(shù)的導(dǎo)數(shù),函數(shù)的單調(diào)性,考查應(yīng)用導(dǎo)數(shù)分析解決多項(xiàng)式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,極值與最值等問題的綜合能力.本小題滿分14分.
解:(I)我們有
.
由于,,故當(dāng)時,達(dá)到其最小值,即
.
(II)我們有.
列表如下:
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極大值 |
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極小值 |
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由此可見,在區(qū)間和單調(diào)增加,在區(qū)間單調(diào)減小,極小值為,極大值為.
(福建理17)
在中,,.
(Ⅰ)求角的大小;
(Ⅱ)若最大邊的邊長為,求最小邊的邊長.
本小題主要考查兩角和差公式,用同角三角函數(shù)關(guān)系等解斜三角形的基本知識以及推理和運(yùn)算能力,滿分12分.
解:(Ⅰ),
.
又,.
(Ⅱ),
邊最大,即.
又,
角最小,邊為最小邊.
由且,
得.由得:.
所以,最小邊.
(廣東理16)
已知頂點(diǎn)的直角坐標(biāo)分別為,,.
(1)若,求的值;
(2)若是鈍角,求的取值范圍.
解析: (1),,若c=5, 則,∴,∴sin∠A=;
2)若∠A為鈍角,則解得,∴c的取值范圍是;
(海南寧夏理17)
如圖,測量河對岸的塔高時,可以選與塔底在同一水平面內(nèi)的兩個測點(diǎn)與.現(xiàn)測得,并在點(diǎn)測得塔頂的仰角為,求塔高.
解:在中,.
由正弦定理得.
所以.
在中,.
(湖北理16)
已知的面積為,且滿足,設(shè)和的夾角為.
(I)求的取值范圍;(II)求函數(shù)的最大值與最小值.
本小題主要考查平面向量數(shù)量積的計(jì)算、解三角形、三角公式、三角函數(shù)的性質(zhì)等基本知識,考查推理和運(yùn)算能力.
解:(Ⅰ)設(shè)中角的對邊分別為,
則由,,可得,.
(Ⅱ)
.
,,.
即當(dāng)時,;當(dāng)時,.
(湖北文16)
已知函數(shù),.
(I)求的最大值和最小值;
(II)若不等式在上恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
本小題主要考查三角函數(shù)和不等式的基本知識,以及運(yùn)用三角公式、三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)解題的能力.
解:(Ⅰ)
.
又,,即,
.
(Ⅱ),,
且,
,即的取值范圍是.
(湖南理16)
已知函數(shù),.
(I)設(shè)是函數(shù)圖象的一條對稱軸,求的值.
(II)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.
解:(I)由題設(shè)知.
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/383995_1/image303.gif">是函數(shù)圖象的一條對稱軸,所以,
即().
所以.
當(dāng)為偶數(shù)時,,
當(dāng)為奇數(shù)時,.
(II)
.
當(dāng),即()時,
函數(shù)是增函數(shù),
故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是().
(湖南文16)
已知函數(shù).求:
(I)函數(shù)的最小正周期;
(II)函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.
解:
.
(I)函數(shù)的最小正周期是;
(II)當(dāng),即()時,函數(shù)是增函數(shù),故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是().
(江西理18)
如圖,函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn),且在該點(diǎn)處切線的斜率為.
(1)求和的值;
(2)已知點(diǎn),點(diǎn)是該函數(shù)圖象上一點(diǎn),點(diǎn)是的中點(diǎn),當(dāng),時,求的值.
解:(1)將,代入函數(shù)得,
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/383995_1/image348.gif">,所以.
又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/383995_1/image350.gif">,,,所以,
因此.
(2)因?yàn)辄c(diǎn),是的中點(diǎn),,
所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.
又因?yàn)辄c(diǎn)在的圖象上,所以.
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/383995_1/image357.gif">,所以,
從而得或.
即或.
(全國卷1理17)
設(shè)銳角三角形的內(nèi)角的對邊分別為,.
(Ⅰ)求的大?。?/p>
(Ⅱ)求的取值范圍.
解:(Ⅰ)由,根據(jù)正弦定理得,所以,
由為銳角三角形得.
(Ⅱ)
.
由為銳角三角形知,
,.
,
所以.
由此有,
所以,的取值范圍為.
(全國卷2理17)
在中,已知內(nèi)角,邊.設(shè)內(nèi)角,周長為.
(1)求函數(shù)的解析式和定義域;
(2)求的最大值.
解:(1)的內(nèi)角和,由得.
應(yīng)用正弦定理,知
,
.
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/383995_1/image387.gif">,
所以,
(2)因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/383995_1/image389.gif">
,
所以,當(dāng),即時,取得最大值.
(山東理20)
如圖,甲船以每小時海里的速度向正北方航行,乙船按固定方向勻速直線航行,當(dāng)甲船位于處時,乙船位于甲船的北偏西方向的處,此時兩船相距海里,當(dāng)甲船航行分鐘到達(dá)處時,乙船航行到甲船的北偏西方向的處,此時兩船相距海里,問乙船每小時航行多少海里?
解法一:如圖,連結(jié),由已知,
,
,
又,
是等邊三角形,
,
由已知,,
,
在中,由余弦定理,
.
.
因此,乙船的速度的大小為(海里/小時).
答:乙船每小時航行海里.
解法二:如圖,連結(jié),由已知,,,
,
.
在中,由余弦定理,
.
.
由正弦定理
,
,即,
.
在中,由已知,由余弦定理,
.
,
乙船的速度的大小為海里/小時.
答:乙船每小時航行海里.
(山東文17)
在中,角的對邊分別為.
(1)求;
(2)若,且,求.
解:(1)
又
解得.
,是銳角.
.
(2),
,
.
又
.
.
.
.
(陜西理17)
設(shè)函數(shù),其中向量,,,且的圖象經(jīng)過點(diǎn).
(Ⅰ)求實(shí)數(shù)的值;
(Ⅱ)求函數(shù)的最小值及此時值的集合.
解:(Ⅰ),
由已知,得.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得,
當(dāng)時,的最小值為,
由,得值的集合為.
(上海理17)
在中,分別是三個內(nèi)角的對邊.若,,求的面積.
解: 由題意,得為銳角,,
,
由正弦定理得 , .
(四川理17)
已知<<<,
(Ⅰ)求的值.
(Ⅱ)求.
本題考察三角恒等變形的主要基本公式、三角函數(shù)值的符號,已知三角函數(shù)值求角以及計(jì)算能力。
解:(Ⅰ)由,得
∴,于是
(Ⅱ)由,得
又∵,∴
由得:
所以
(天津理17)
已知函數(shù).
(Ⅰ)求函數(shù)的最小正周期;
(Ⅱ)求函數(shù)在區(qū)間上的最小值和最大值.
本小題考查三角函數(shù)中的誘導(dǎo)公式、特殊角三角函數(shù)值、兩角差公式、倍角公式、函數(shù)的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識,考查基本運(yùn)算能力.滿分12分.
(Ⅰ)解:.
因此,函數(shù)的最小正周期為.
(Ⅱ)解法一:因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/383995_1/image509.gif">在區(qū)間上為增函數(shù),在區(qū)間上為減函數(shù),又,,,
故函數(shù)在區(qū)間上的最大值為,最小值為.
解法二:作函數(shù)在長度為一個周期的區(qū)間上的圖象如下:
由圖象得函數(shù)在區(qū)間上的最大值為,最小值為.
(天津文17)
在中,已知,,.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求的值.
本小題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、兩角和公式、倍角公式、正弦定理等的知識,考查基本運(yùn)算能力.滿分12分.
(Ⅰ)解:在中,,由正弦定理,
.
所以.
(Ⅱ)解:因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/383995_1/image521.gif">,所以角為鈍角,從而角為銳角,于是
,
,
.
.
(浙江理18)
已知的周長為,且.
(I)求邊的長;
(II)若的面積為,求角的度數(shù).
解:(I)由題意及正弦定理,得,
,
兩式相減,得.
(II)由的面積,得,
由余弦定理,得
,
所以.
C浙江文2.已知,且,則( )
A. B. C. D.
(重慶理17)
設(shè).
(Ⅰ)求的最大值及最小正周期;
(Ⅱ)若銳角滿足,求的值.
解:(Ⅰ)
.
故的最大值為;
最小正周期.
(Ⅱ)由得,故.
又由得,故,解得.
從而.
(重慶文18)
已知函數(shù).
(Ⅰ)求的定義域;
(Ⅱ)若角在第一象限且,求.
解:
(Ⅰ) 由得,即.
故的定義域?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/383995_1/image575.gif">.
(Ⅱ)由已知條件得.
從而
.