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41.(四川•理•19題)如圖,四邊形是直角梯形,∠=90°,∥,=1,=2,又=1,∠=120°,⊥,直線與直線所成的角為60°.
(Ⅰ)求證:平面⊥平面;
(Ⅱ)求二面角的大??;
(Ⅲ)求三棱錐的體積;
分析:本題主要考察異面直線所成的角、平面與平面垂直、二面角、三棱錐體積等有關(guān)知識(shí),考察思維能力和空間想象能力、應(yīng)用向量知識(shí)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力、化歸轉(zhuǎn)化能力和推理運(yùn)算能力。
解法一:
(Ⅰ)∵
∴,
又∵
∴
(Ⅱ)取的中點(diǎn),則,連結(jié),
∵,∴,從而
作,交的延長(zhǎng)線于,連結(jié),則由三垂線定理知,,
從而為二面角的平面角
直線與直線所成的角為
∴
在中,由余弦定理得
在中,
在中,
在中,
故二面角的平面角大小為
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,為正方形
∴
解法二:(Ⅰ)同解法一
(Ⅱ)在平面內(nèi),過(guò)作,建立空間直角坐標(biāo)系(如圖)
由題意有,設(shè),
則
由直線與直線所成的解為,得
,即,解得
∴,設(shè)平面的一個(gè)法向量為,
則,取,得
平面的法向量取為
設(shè)與所成的角為,則
顯然,二面角的平面角為銳角,
故二面角的平面角大小為
(Ⅲ)取平面的法向量取為,則點(diǎn)A到平面的距離
∵,∴
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