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43.(浙江•理•19題)在如圖所示的幾何體中,平面ABC,平面ABC,,,M是AB的中點(diǎn)。
(Ⅰ)求證:;
(Ⅱ)求CM與平面CDE所成的角;
分析:本題主要考查空間線面關(guān)系、空間向量的概念與運(yùn)算等基礎(chǔ)知識(shí),同時(shí)考查空間想象能力和推理運(yùn)算能力.滿分14分.
解答:
方法一:
(I)證明:因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/384011_1/image865.gif">,是的中點(diǎn),
所以.
又平面,
所以.
(II)解:過(guò)點(diǎn)作平面,垂足是,連結(jié)交延長(zhǎng)交于點(diǎn),連結(jié),.
是直線和平面所成的角.
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/384011_1/image867.gif">平面,
所以,
又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/384011_1/image875.gif">平面,
所以,
則平面,因此.
設(shè),,
在直角梯形中,
,是的中點(diǎn),
所以,,,
得是直角三角形,其中,
所以.
在中,,
所以,
故與平面所成的角是.
方法二:
如圖,以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),以,分別為軸和軸,過(guò)點(diǎn)作與平面垂直的直線為軸,建立直角坐標(biāo)系,設(shè),則,,.,.
(I)證明:因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/384011_1/image901.gif">,,
所以,
故.
(II)解:設(shè)向量與平面垂直,則,,
即,.
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/384011_1/image911.gif">,,
所以,,
即,
,
直線與平面所成的角是與夾角的余角,
所以,
因此直線與平面所成的角是.
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